Однополостный гиперболоид

Каноническое уравнение имеет вид

Строим методом сечений.

1) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение эллипса с полуосями и .

 

2) Находим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости :

Решаем систему уравнений

 

 

- это уравнение эллипса с полуосями и .

 

 

3) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений - это уравнение гиперболы,

 

где - действительная полуось, а - мнимая полуось.

 

4) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение гиперболы.

- действительная полуось, а - мнимая полуось.

Однополостный гиперболоид – это бесконечная труба, которая бесконечно расширяется по мере удаления от плоскости .

, , - это полуоси гиперболоида. Полуось увидим, если построим основной прямоугольник какой-либо из гипербол.

 

 

Двуполостный гиперболоид.

Каноническое уравнение имеет вид .

1) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение мнимого эллипса.

Следовательно, с плоскостью нет общих точек.

 

2) Находим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости :

а) Решаем систему уравнений - это уравнение мнимого эллипса, так как .

б) Решаем систему уравнений

.

Получим точки и .

в) Решаем систему уравнений

;

- это уравнение эллипса, с полуосями и .

2) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение гиперболы,

где -действительная полуось,

а - мнимая полуось.

3) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение гиперболы,

где - действительная полуось, а - мнимая полуось.

 

Двуполостный гиперболоид - это две чаши с вершинами в точках и , которые бесконечно расширяются по мере удаления от плоскости .

, и - полуоси гиперболы. Полуоси и увидим, если построим основные прямоугольники обеих гипербол.

Эллиптический параболоид.

Каноническое уравнение имеет вид ,

 

где и это параметры параболоида, ; ,

 

Строим методом сечений.

1) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение точки .

 

2) Находим линии пересечения с плоскостями, параллельными

плоскости .

Решаем систему уравнений

 

- это уравнение эллипса с полуосями и .

При получим уравнение мнимого эллипса.

 

3) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение параболы симметричной относительно оси .

 

4) Аналогично найдем линию пересечения с плоскостью .

Это будет парабола симметричная относительно оси .

 

 

Если , то получаем параболоид вращения.