Ћекции.ќрг
 

 атегории:


»скусственные сооружени€ железнодорожного транспорта: »скусственные сооружени€ по прот€женности составл€ют в среднем менее 1,5% общей длины пути...


ќЅЌќ¬Ћ≈Ќ»≈ «≈ћЋ»: ѕрошло более трех лет с тех пор, как —овет ћинистров ———– и ÷ентральный  омитет ¬ ѕ...


ѕоездка - ћедвежьегорск - ¬оттовара - янгозеро: ѕо изначальному плану мы должны были стартовать с янгозера...

‘ормулы  рамера. ћетод обратной матрицы



—истемы n линейных уравнений с n переменными имеют вид:

(2)

 

ћатрица такой системы €вл€етс€ квадратной, и ей соответствует определитель - го пор€дка , называемый главным определителем системы. –ешение системы (2), в случае , может быть найдено по формулам  рамера.

 

,

 

где - вспомогательные определители системы.

√лавный определитель системы состоит из коэффициентов при переменных, а вспомогательные составл€ют из главного, замен€€ столбец коэффициентов (при соответствующей переменной) столбцом свободных членов.

 

 

≈сли , то система имеет единственное решение;

если , то система имеет бесконечно много решений;

если и какой-либо из вспомогательных определителей не равен нулю, то система не имеет решений (или имеет (пустое множество) решений).

 

ћетод обратной матрицы

«апишем систему (2) в матричном виде и решим матричное уравнение:

 

 

 

ћатричное уравнение может иметь и другой вид:

 

ћетод √аусса

 

ќдним из наиболее универсальных методов решени€ алгебраических систем €вл€етс€ метод √аусса, состо€щий в последовательном исключении переменных.

ѕусть дана система уравнений:

 

Ќа первом этапе (пр€мой ход) систему уравнений приводим к ступенчатому (в частном случае, когда , к треугольному ) виду с помощью элементарных преобразований.

Ќа втором этапе ( обратный ход) последовательно определ€ем значени€ переменных из полученной ступенчатой системы.

≈сли ступенчата€ система окажетс€ треугольной, то исходна€ система имеет единственное решение. »з последнего уравнени€ находим значение , из предпоследнего - , и далее, поднима€сь по системе вверх, найдем значени€ всех остальных переменных .

≈сли в результате элементарных преобразований по€вл€ютс€ уравнени€ , то их вычеркиваем. ≈сли же по€вл€етс€ уравнение , то это свидетельствует о несовместности системы.

ѕреобразовани€ √аусса удобнее проводить не с самой системой, а с ее расширенной матрицей, выполн€€ элементарные преобразовани€ над строками.

”добно, чтобы коэффициент был равен . ƒл€ этого можно переставить уравнени€ системы либо разделить обе части первого уравнени€ на .

ѕример 1.–ешить систему уравнений методом √аусса

ѕр€мой ход.

1. ¬ыберем Ђведущимї третье уравнение и запишем его на первое место.

2. «апишем расширенную матрицу системы и выполним элементарные преобразовани€ над ее строками:

~ ~
первую строку перепишем, а вторую и третью заменим суммой с первой, умноженной соответственно на и на ; разделим вторую строку на .
~ ~
первую и вторую строки перепишем, а третью заменим суммой ее со второй , умноженной на ; из этой матрицы запишем систему треугольного вида.

ќбратный ход.

»з третьего уравнени€ находим значение , из второго - значение , из первого - значение .

ќтвет: . Ш

ѕример 2.–ешить систему уравнений

¶ «апишем расширенную матрицу системы. ¬ыполн€€ элементарные преобразовани€ над ее строками, получим:

~ ~

~ ~ .

 

»з последней матрицы запишем систему

»з третьего уравнени€ находим значение , из второго - значение .

“ак как уравнений в системе осталось меньше, чем переменных, то из первого уравнени€ выражаем через ( - свободна€ переменна€, т.е. - любое число ).

—ледовательно, система уравнений имеет бесконечно много решений.

ќтвет: , где - любое число. Ш

 





ƒата добавлени€: 2016-11-02; просмотров: 3636 | Ќарушение авторских прав


–екомендуемый контект:


ѕохожа€ информаци€:

ѕоиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.004 с.