Линейные операции над векторами

1. Умножение вектора на число. Произведением вектора на число называется вектор , который имеет длину , коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если , и противоположное направление, если .

Например, если дан вектор , то векторы и будут иметь вид:

2. Сложение векторов. Пусть даны произвольные векторы и .Сумму векторов можно построить по правилу треугольника и по правилу параллелограмма.

3. Вычитание векторов можно заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору .

4. Свойства линейных операций.

1)	- переместительное свойство сложения;
2)	- сочетательное свойство сложения;
3)	- сочетательное свойство умножения на число;
4)	- распределительное свойство относительно суммы чисел;
5)	- распределительное свойство относительно суммы векторов.

Разложение вектора по базису. Координаты вектора

Модуль вектора. Направляющие косинусы

Пусть - единичные векторы осей координат, т.е. и каждый из них одинаково направлен с координатными осями. Тройка векторов называется координатным базисом.

Теорема. Любой вектор пространства можно разложить по базису , т.е. представить в виде , где - некоторые числа (буквы: - «мю», - «ню»).

Это разложение единственное.

q Доказательство. Приложим вектор к началу координат, обозначим его конец . Проведем через точку плоскости, перпендикулярные осям координат. Пусть , , -точки пересечения этих плоскостей с осями координат.

Существует единственная тройка чисел , , таких, что

Формула называется разложением вектора по координатному базису.

Числа , , -называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси. В символическом виде записывают .