Определение и вычисление векторного произведения векторов

Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

 

Определение. Тройка векторов называется упорядоченной, если сказано, какой из них считать первым, какой вторым, какой третьим.

Например, в записи : - первый вектор, - второй, - третий.

Определение. Упорядоченная тройка трех некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот первого ко второму виден совершающимся против

часовой стрелки.

В противном случае тройка называется левой.

 

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) , ,

2) ,

3) - правая тройка векторов.

Обозначается: или .

Если векторы заданы своими координатами , , то векторное произведение выражается по формуле:

Пример. Даны векторы , . Найти .

¦

Ответ: . �

 

Свойства векторного произведения

1.	2.
3.	4.
5. , , ,

Приложения векторного произведения

1. Установление параллельности векторов: .

2. Вычисление площадей параллелограмма и треугольника:

 

, .

 

В физике:

3. Определение момента силы относительно точки.

Пусть к точке приложена сила , точка - произвольная точка пространства.

 

Моментом силы относительно точки является вектор, проходящий через точку , для которого выполняются условия:

1. = ,
2. и ,
3. и - образуют правую тройку.

4. Нахождение линейной скорости вращения.

Скорость точки твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, равна ( - некоторая точка оси ).

 

 

Смешанное произведение векторов

 

Определение, свойства и вычисление смешанного произведения векторов

Определение. Смешанным произведением векторов называется число, равное .

 

Свойства смешанного произведения векторов:

1. Знаки в смешанном произведении можно расставлять произвольно или вообще опускать, т.е. .

2. Переставлять векторы можно только в круговом порядке:

= = = .

3. Знак смешанного произведения изменится на противоположный, если поменять местами два соседних вектора: .

4. Если , , и векторы компланарны.

 

Вычисление смешанного произведения.

, , .

 

 

Приложения смешанного произведения

 

1. Установление компланарности векторов .

 

2. Определение взаимной ориентации в пространстве:

если - правая тройка,

если - левая тройка.

 

3. Вычисление объемов параллелепипеда и пирамиды, построенных на векторах : , .

Пример 1. Показать, что векторы , , компланарны.

¦ - компланарны. �

Пример 2. Найтиобъем треугольной пирамиды с вершинами , , , .

¦ , , .

. �

 

Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Системы координат на плоскости