Расстояние от точки до прямой

Пусть прямые и заданы общими уравнениями и уравнениями с угловыми коэффициентами.



1.
2.
3.	( - угловой коэффициент прямой, которую поворачиваем)

Расстояние от точки до прямой находим по формуле

Пример. Найти расстояние от точки до прямой .

¦ Расстояние от точки до прямой равно:

Линии второго порядка на плоскости

Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная , большая, чем расстояние между фокусами .

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

, где .

Расположим систему координат следующим образом: за ось примем прямую, проходящую через фокусы и , за ось примем перпендикуляр к оси абсцисс, проходящий через середину отрезка .

, , и - точки пересечения эллипса с осями симметрии

(координатными осями) называются вершинами эллипса.

Отрезки и называются осями эллипса, причем - большая ось, а - малая ось, так как .

Параметры и , входящие в каноническое уравнение, называются полуосями эллипса, а называется фокусным расстоянием эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к большей полуоси . Очевидно, что .

Прямые называются директрисами эллипса .

Пусть точка - произвольная точка эллипса.

Длины отрезков и называются фокальными радиусами .

Если фокусы эллипса лежат на оси , то большей осью будет отрезок ,

а малой осью отрезок .

Тогда , а директрисами являются прямые .

Если , то эллипс превращается в окружность, определяемую уравнением

Уравнение определяет вырожденный эллипс, т.е. это уравнение определяет на плоскости только одну точку .

Уравнение определяет мнимый эллипс, т.е. это уравнение не определяет на плоскости никакого геометрического образа.

Если центр эллипса находится в точке и оси параллельны осям координат, то его уравнение имеет вид:

Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная , меньшая, чем расстояние между фокусами .

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где .

Гипербола имеет две оси симметрии (оси координат), с одной из которых она пересекается в точках , , называемых вершинами гиперболы.

Отрезок - действительная ось, - мнимая ось.

Параметры и , входящие в каноническое уравнение, называются полуосями гиперболы, а называется фокусным расстоянием гиперболы.

Прямоугольник со сторонами и называется основным прямоугольником гиперболы.

Диагонали этого прямоугольника называются асимптотами гиперболы.

Уравнения асимптот имеют вид:

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине действительной полуоси . Очевидно, что .

Прямые называются директрисами гиперболы .

Пусть точка - произвольная точка гиперболы.

Длины отрезков и называются фокальными радиусами .

Если гипербола расположена так, что ее фокусы лежат на оси , то действительной осью будет отрезок , а мнимой осью - отрезок и уравнение ее имеет вид

Тогда и директрисами являются прямые , а асимптоты будут те же, что и у гиперболы (1).

Гиперболы (1) и (2) н азываются сопряженными.

Если , то гипербола называется равносторонней.

Простейшие уравнения равносторонней гиперболы имеют вид:

, .

Если центр гиперболы находится в точке и оси параллельны осям координат, то уравнение ее имеет вид:

или .

Парабола

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки , называемой фокусом, и данной прямой , называемой директрисой.

Величина , равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметром параболы.

Расположим систему координат следующим образом: за одну из координатных осей примем ось параболы, а за другую – прямую, перпендикулярную оси и проведенную посередине между фокусом и директрисой.

Тогда уравнения параболы будут иметь вид: