Уравнение плоскости в отрезках на осях

 

Рассмотрим частные случаи расположения плоскости , определяемой общим уравнением: .

1. Если ,то .

, то .

Если , то .

Если , то проходит через начало координат.

2. Если , то .

Если , то .

Если , то .

3. Если , то проходит через ось .

Если , то проходит через ось .

Если , то проходит через ось .

4. Если - это уравнение плоскости .

Если - это уравнение плоскости .

Если - это уравнение плоскости .

5. Если , то уравнение плоскости можно привести к виду: или . Обозначив ,

получим (3) – уравнение плоскости в отрезках на осях,

где , , - точки пересечения с осями координат.

 

Примеры. Построить плоскости, заданные общими уравнениями:

1.

 

.

 

 

2. .	3. .
4. .	5. .

 

 

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

 

Пусть даны точки , , принадлежащие плоскости .

Точка - произвольная точка плоскости .

Построим векторы: ,

,

.

Так как точки лежат в одной плоскости, то векторы компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю.

(4)	- уравнение плоскости, проходящей через три точки.

 

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

 

¦ Используем уравнение (4):

 

 

 

. �

 

 

Нормальное уравнение плоскости

 

1. Пусть в системе координат задана плоскость .

Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную плоскости .

Будем называть ее нормалью.

 

Точку пересечения нормали с плоскостью обозначим . Построим вектор , длину которого обозначим .

 

Введем единичный вектор , направление которого совпадает с направлением вектора .

Пусть - углы, которые составляет вектор с осями координат. Так как , то .

2. Выведем уравнение плоскости , считая известными числа и .

Пусть - произвольная точка. Она лежит в плоскости тогда и только тогда, когда проекция вектора на нормаль равна . Таким образом,

(5)	- нормальное уравнение плоскости

3. Покажем, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду.

	- общее уравнение. (1)
	- нормальное уравнение. (2)

 

Так как то, умножая, коэффициенты уравнения (1) на некоторый множитель , получим уравнение , совпадающее с уравнением (2), т. е

.

Возведем первые три из равенств в квадрат и почленно сложим:

- нормирующий множитель.

Знак его противоположен знаку в общем уравнении, т. к. .

 

Пример. Привести уравнение плоскости к нормальному виду.

¦ ,

 

- это и есть нормальное уравнение плоскости .�

 

Пучок плоскостей

 

Пусть плоскости и пересекаются по прямой a.

Определение. Плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей, образуют пучок плоскостей.

 

Уравнение пучка плоскостей: .

 

Чтобы написать уравнение какой-либо плоскости пучка, достаточно знать точку, через которую она проходит.

 

Пример. Написать уравнение плоскости , проходящей через линию пересечения плоскостей и , и через точку .

¦ Запишем уравнение пучка плоскостей:

.

Значение определяем из условия, что плоскость проходит через точку : , или .

Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

или . �