Эллипс.
Определение. Эллипсом называется множество точек g на плоскости, обладающее следующим свойством: существуют такие точки F 1, F 2, называемые фокусами, что сумма расстояний от произвольной точки M эллипса до F 1 и от M до F 2 есть величина постоянная:
½ MF 1½ +½ MF 2½ = 2 a = const, (1)
т.е. независящая от выбора точки M Îg, и 2 a < 2 c =½ F 1 F 2½.
Составим уравнение эллипса в декартовых координатах. Начало координат поместим в середину отрезка F 1 F 2, и направим Ox . Тогда ось Oy определится однозначно. Фокусы будут иметь координаты F 1(c, 0), F 2(– c, 0).
Пусть M (x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда
½ MF 1½ =, ½ MF 2½ =.
Согласно определению (1) имеем
= 2 a –.
Возведем обе части равенства в квадрат и сократим одинаковые слагаемые:
x 2 – 2 xc + c 2 + y 2 = 4 a 2 – 4 a + x 2 + 2 xc + c 2 + y 2.
4 xc = 4 a 2 – 4 a Û a = a 2 + xc.
Еще раз возводим в квадрат, сокращаем и группируем:
a 2(x 2 + 2 xc + c 2 + y 2) = a 4 + 2 a 2 xc + x 2 c 2,
x 2(a 2 – c 2) + a 2 y 2 = a 2(a 2 – c 2).
Согласно определению a < c; поэтому можем обозначить b 2 = a 2 – c 2, и разделив на a 2 b 2, окончательно получаем
+ = 1. (2)
Мы доказали, что координаты произвольной точки эллипса удовлетворяют уравнению (2). Необходимо еще доказать обратное: если координаты точки M (x, y) удовлетворяют (2), то выполнено (1).
Из (2) выразим y 2 = b 2(1– ) и подставим в выражение для ½ MF 1½, учитывая при этом обозначение b 2 = a 2 – c 2:
½ MF 1½ = = =
= =
= = =½ a – ½.
Аналогично получаем, что ½ MF 2½ =½ a + ½. Из (2) следует, что ½ x ½ £ a (иначе уже первое слагаемое будет больше 1), а по определению, a < c Þ оба выражения под модулем неотрицательны. Поэтому
½ MF 1½ +½ MF 2½ = a – + a + = 2 a.
Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса.
Геометрические свойства эллипса.
1. Из (2) следует, что ½ x ½ £ a, ½ y ½ £ b. Значит, эллипс целиком содержится в прямоугольнике, определяемыми этим неравенствами.
Подчеркнем, что это и все другие свойства выводятся только из уравнения эллипса, без ссылки на наглядность чертежа. Поэтому и раздел геометрии, который мы сейчас изучаем, называется «Аналитическая геометрия».
2. Координатные оси пересекают эллипс в точках A 1(a, 0), A 2(– a, 0), B 1(0, b), B 2(0, – b), которые называются его вершинами. Отрезки A 1 A 2 и B 1 B 2 называются большим и малым диаметрами эллипса, а вместе – главными диаметрами. Числа a и b называются большой и малой полуосями.
3. Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – центром симметрии.
Действительно, пусть M (x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда
пара (x, y) удовлетворяет уравнению (2). Но тогда этому уравнению удовлетворяют также и пары (x, – y), (– x, y), (– x,– y), которые задают точки, симметричные M относительно Ox, Oy и точки O соответственно.
4. Эллипс может быть получен из окружности
g¢: X 2 + Y 2 = a 2 (**)
в результате равномерного ее сжатия вдоль оси Oy с коэффициентом k = a/b. Действительно, при таком сжатии точка M ¢(X, Y)Î g¢ будет переходить в точку M (x, y), где
x = X, X = x ,
y = Y. Û Y = y.
Подставляя последние формулы в (**), получим, что координаты точки M удовлетворяют (2), т.е. M Î g.
5. Эллипс может быть получен из окружности в результате проекции окружности на плоскость s непараллельную плоскости окружности. Действительно, при такой проекции отрезки параллельные линии пересечения плоскостей l = s I сохраняют длину, а отрезки перпендикулярные l сжимаются в 1/cos a раз, где a – угол между s и. Таким образом, окружность сжимается по одному направлению, и согласно свойству 4, из нее получается эллипс.
6. Самостоятельно убедитесь, что параметрические уравнения эллипса имеют вид:
x = a cos a,
y = b sin a, t Î R .
Гипербола.
Определение. Гиперболой называется множество точек g на плоскости, обладающее следующим свойством: существуют такие точки F 1, F 2, называемые фокусами, что модуль разности расстояний от произвольной точки M гиперболы до F 1 и от M до F 2 есть величина постоянная:
½ ½ MF 1½ –½ MF 2½½ = 2 a = const, (3)
т.е. независящая от выбора точки M Îg, и 2 a < 2 c =½ F 1 F 2½.
Составим уравнение гиперболы в декартовых координатах. Начало координат поместим в середину отрезка F 1 F 2, 
и направим Ox . Тогда ось Oy определится однозначно. Фокусы будут иметь координаты F 1(c, 0), F 2(– c, 0).
Пусть M (x, y) – произвольная точка гиперболы. Тогда
½ MF 1½ =,
½ MF 2½ =.
Согласно определению (3) имеем
= ± 2 a +.
Далее совершаем дословно такие же преобразования, что и для эллипса. В результате получим уравнение
x 2(c 2 – a 2) – a 2 y 2 = a 2(c 2 – a 2).
Упражнение. Проделайте эти преобразования самостоятельно.
По определению a < c; поэтому можем обозначить b 2 = c 2 – a 2, и разделив на a 2 b 2 окончательно получаем
– = 1. (4)
Мы доказали, что координаты произвольной точки гиперболы удовлетворяют (4). Необходимо еще доказать обратное: если координаты точки M (x, y) удовлетворяют (4), то выполнено (3). Из (4) выразим y 2 = b 2( –1) и подставим в выражение для ½ MF 1½, учитывая при этом обозначение b 2 = c 2 – a 2. Точно так же, как и для эллипса получим
½ MF 1½ =½ a – ½, ½ MF 2½ ==½ a + ½. (**)
Упражнение. Проделайте это самостоятельно.
Из (4) вытекает, что x 2 = a 2(1+ ) Þ ½ x ½ ³ a, и по определению c > a. Значит, второе слагаемое в формулах (**) по модулю больше первого и при x ³ a получаем
½ MF 1½ = – a, ½ MF 2½ = a +,
а при x £– a получаем
½ MF 1½ = a –, ½ MF 2½ = – a –.
В обоих случаях выполняется (3).
Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.
Геометрические свойства гиперболы.
1. Мы уже отмечали, что для любой точки M (x, y) на гиперболе
x 2 = a 2(1+ ) Þ ½ x ½ ³ a,
кроме того (4) Þ
x 2 > Û ½ x ½>½ y ½.
Значит вся гипербола содержится в области, определяемой этими неравенствами. Она заштрихована на рисунке.
2. Ось Ox пересекает гиперболу в точках A 1(a, 0), A 2(– a, 0),которые называются вершинами гиперболы. Ось Oy ее не пересекает. Числа a и b называются полуосями гиперболы – действительной и мнимой.
3. Дословно так же, как и для эллипса доказывается, что координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – центром симметрии.
4. Прямые l 1: y = x и l 2: y = – x называются асимптотами гиперболы.
Гипербола неограниченно к ним приближается, но нигде не пересекает.
Действительно, пусть M (x, y) – точка на гиперболе, а M ¢(x, y ¢) – на соответствующей асимптоте. Тогда расстояние от точки M до асимптоты меньше, чем ½ MM ¢½. При этом
½ MM ¢½ =½ y ¢½ –½ y ½.
(y ¢)2= x 2, y 2 = b 2( –1) (***)
Из этих равенств вытекает, что при ½ x ½ ¾® ¥ будет ½ y ¢½ ¾® ¥ и ½ y ½ ® ¥. Кроме этого,
(y ¢)2– y 2 = b 2 Û ½ y ¢½ –½ y ½ = ¾® 0 при ½ x ½ ¾® ¥.
Заметим, что обе асимптоты вместе можно задать вместе одним уравнением – = 0. Для его получения достаточно в правой части уравнения (4) заменить 1 на 0. Асимптоты проходят через диагонали прямоугольника, который определяется неравенствами ½ x ½ £ a, ½ y ½ £ b. Он называется фундаментальным прямоугольником гиперболы. Для построения гиперболы рекомендуется сначала изобразить этот прямоугольник.
5. При a = b гипербола называется равнобокой. Ее уравнение
x 2– y 2 = a 2 , (5)
а асимптоты имеют уравнения l 1: y = x, l 2: y = – x . Очевидно, что l 1 ^ l 2 , и мы можем выбрать их за оси новой декартовой СК Ox ¢ y ¢, которая получается из Oxy поворотом на угол – 45о. Тогда формулы замены координат имеют вид:
x = (x ¢+ y ¢),
y = (– x ¢+ y ¢).
Подставим их в (5) и получим уравнение
2 x ¢ y ¢= a 2 Û y ¢= ,
где k = a 2/2. Таким образом, равнобокая гипербола задает график обратной пропорциональности.
6. Параметрические уравнения гиперболы имеют вид:
x = ± a ch t, x = a (t + 1/ t),
y = b sh t, t Î R . y = b (t – 1/ t), t Î R \{0}.
Знак «+» соответствует одной ветви гиперболы, а «–» – другой ветви.
Упражнение. Проверьте это самостоятельно.
7. Гипербола
g¢: – = –1,
называется сопряженной к гиперболе g, заданной уравнением (4). Она имеет тот же фундаментальный прямоугольник, те же асимптоты, только расположена в другой паре вертикальных углов, образованных этими асимптотами.
