Глава 3. Кривые второго порядка

Эллипс.

Определение. Эллипсом называется множество точек g на плоскости, обладающее следующим свойством: существуют такие точки F ₁, F ₂, называемые фокусами, что сумма расстояний от произвольной точки M эллипса до F ₁ и от M до F ₂ есть величина постоянная:

½ MF ₁½ +½ MF ₂½ = 2 a = const, (1)

т.е. независящая от выбора точки M Îg, и 2 a < 2 c =½ F ₁ F ₂½.

Составим уравнение эллипса в декартовых координатах. Начало координат поместим в середину отрезка F ₁ F ₂, и направим Ox ­­. Тогда ось Oy определится однозначно. Фокусы будут иметь координаты F ₁(c, 0), F ₂(– c, 0).

Пусть M (x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда

½ MF ₁½ =, ½ MF ₂½ =.

Согласно определению (1) имеем

= 2 a –.

Возведем обе части равенства в квадрат и сократим одинаковые слагаемые:

x ² – 2 xc + c ² + y ² = 4 a ² – 4 a + x ² + 2 xc + c ² + y ².

4 xc = 4 a ² – 4 a Û a = a ² + xc.

Еще раз возводим в квадрат, сокращаем и группируем:

a ²(x ² + 2 xc + c ² + y ²) = a ⁴ + 2 a ² xc + x ² c ²,

x ²(a ² – c ²) + a ² y ² = a ²(a ² – c ²).

Согласно определению a < c; поэтому можем обозначить b ² = a ² – c ², и разделив на a ² b ², окончательно получаем

+ = 1. (2)

Мы доказали, что координаты произвольной точки эллипса удовлетворяют уравнению (2). Необходимо еще доказать обратное: если координаты точки M (x, y) удовлетворяют (2), то выполнено (1).

Из (2) выразим y ² = b ²(1– ) и подставим в выражение для ½ MF ₁½, учитывая при этом обозначение b ² = a ² – c ²:

½ MF ₁½ = = =

= =

= = =½ a – ½.

Аналогично получаем, что ½ MF ₂½ =½ a + ½. Из (2) следует, что ½ x ½ £ a (иначе уже первое слагаемое будет больше 1), а по определению, a < c Þ оба выражения под модулем неотрицательны. Поэтому

½ MF ₁½ +½ MF ₂½ = a – + a + = 2 a.

Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса.

Геометрические свойства эллипса.

1. Из (2) следует, что ½ x ½ £ a, ½ y ½ £ b. Значит, эллипс целиком содержится в прямоугольнике, определяемыми этим неравенствами.

Подчеркнем, что это и все другие свойства выводятся только из уравнения эллипса, без ссылки на наглядность чертежа. Поэтому и раздел геометрии, который мы сейчас изучаем, называется «Аналитическая геометрия».

2. Координатные оси пересекают эллипс в точках A ₁(a, 0), A ₂(– a, 0), B ₁(0, b), B ₂(0, – b), которые называются его вершинами. Отрезки A ₁ A ₂ и B ₁ B ₂ называются большим и малым диаметрами эллипса, а вместе – главными диаметрами. Числа a и b называются большой и малой полуосями.

3. Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – центром симметрии.

Действительно, пусть M (x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда

пара (x, y) удовлетворяет уравнению (2). Но тогда этому уравнению удовлетворяют также и пары (x, – y), (– x, y), (– x,– y), которые задают точки, симметричные M относительно Ox, Oy и точки O соответственно.

4. Эллипс может быть получен из окружности

g¢: X ² + Y ² = a ² (**)

в результате равномерного ее сжатия вдоль оси Oy с коэффициентом k = a/b. Действительно, при таком сжатии точка M ¢(X, Y)Î g¢ будет переходить в точку M (x, y), где

x = X, X = x ,

y = Y. Û Y = y.

Подставляя последние формулы в (**), получим, что координаты точки M удовлетворяют (2), т.е. M Î g.

5. Эллипс может быть получен из окружности в результате проекции окружности на плоскость s непараллельную плоскости окружности. Действительно, при такой проекции отрезки параллельные линии пересечения плоскостей l = s I сохраняют длину, а отрезки перпендикулярные l сжимаются в 1/cos a раз, где a – угол между s и. Таким образом, окружность сжимается по одному направлению, и согласно свойству 4, из нее получается эллипс.

6. Самостоятельно убедитесь, что параметрические уравнения эллипса имеют вид:

x = a cos a,

y = b sin a, t Î R .

Гипербола.

Определение. Гиперболой называется множество точек g на плоскости, обладающее следующим свойством: существуют такие точки F ₁, F ₂, называемые фокусами, что модуль разности расстояний от произвольной точки M гиперболы до F ₁ и от M до F ₂ есть величина постоянная:

½ ½ MF ₁½ –½ MF ₂½½ = 2 a = const, (3)

т.е. независящая от выбора точки M Îg, и 2 a < 2 c =½ F ₁ F ₂½.

Составим уравнение гиперболы в декартовых координатах. Начало координат поместим в середину отрезка F ₁ F ₂, и направим Ox ­­. Тогда ось Oy определится однозначно. Фокусы будут иметь координаты F ₁(c, 0), F ₂(– c, 0).

Пусть M (x, y) – произвольная точка гиперболы. Тогда

½ MF ₁½ =,

½ MF ₂½ =.

Согласно определению (3) имеем

= ± 2 a +.

Далее совершаем дословно такие же преобразования, что и для эллипса. В результате получим уравнение

x ²(c ² – a ²) – a ² y ² = a ²(c ² – a ²).

Упражнение. Проделайте эти преобразования самостоятельно.

По определению a < c; поэтому можем обозначить b ² = c ² – a ², и разделив на a ² b ² окончательно получаем

– = 1. (4)

Мы доказали, что координаты произвольной точки гиперболы удовлетворяют (4). Необходимо еще доказать обратное: если координаты точки M (x, y) удовлетворяют (4), то выполнено (3). Из (4) выразим y ² = b ²( –1) и подставим в выражение для ½ MF ₁½, учитывая при этом обозначение b ² = c ² – a ². Точно так же, как и для эллипса получим

½ MF ₁½ =½ a – ½, ½ MF ₂½ ==½ a + ½. (**)

Упражнение. Проделайте это самостоятельно.

Из (4) вытекает, что x ² = a ²(1+ ) Þ ½ x ½ ³ a, и по определению c > a. Значит, второе слагаемое в формулах (**) по модулю больше первого и при x ³ a получаем

½ MF ₁½ = – a, ½ MF ₂½ = a +,

а при x £– a получаем

½ MF ₁½ = a –, ½ MF ₂½ = – a –.

В обоих случаях выполняется (3).

Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.

Геометрические свойства гиперболы.

1. Мы уже отмечали, что для любой точки M (x, y) на гиперболе

x ² = a ²(1+ ) Þ ½ x ½ ³ a,

кроме того (4) Þ

x ² > Û ½ x ½>½ y ½.

Значит вся гипербола содержится в области, определяемой этими неравенствами. Она заштрихована на рисунке.

2. Ось Ox пересекает гиперболу в точках A ₁(a, 0), A ₂(– a, 0),которые называются вершинами гиперболы. Ось Oy ее не пересекает. Числа a и b называются полуосями гиперболы – действительной и мнимой.

3. Дословно так же, как и для эллипса доказывается, что координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – центром симметрии.

4. Прямые l ₁: y = x и l ₂: y = – x называются асимптотами гиперболы.

Гипербола неограниченно к ним приближается, но нигде не пересекает.

Действительно, пусть M (x, y) – точка на гиперболе, а M ¢(x, y ¢) – на соответствующей асимптоте. Тогда расстояние от точки M до асимптоты меньше, чем ½ MM ¢½. При этом

½ MM ¢½ =½ y ¢½ –½ y ½.

(y ¢)²= x ², y ² = b ²( –1) (***)

Из этих равенств вытекает, что при ½ x ½ ¾® ¥ будет ½ y ¢½ ¾® ¥ и ½ y ½ ® ¥. Кроме этого,

(y ¢)²– y ² = b ² Û ½ y ¢½ –½ y ½ = ¾® 0 при ½ x ½ ¾® ¥.

Заметим, что обе асимптоты вместе можно задать вместе одним уравнением – = 0. Для его получения достаточно в правой части уравнения (4) заменить 1 на 0. Асимптоты проходят через диагонали прямоугольника, который определяется неравенствами ½ x ½ £ a, ½ y ½ £ b. Он называется фундаментальным прямоугольником гиперболы. Для построения гиперболы рекомендуется сначала изобразить этот прямоугольник.

5. При a = b гипербола называется равнобокой. Ее уравнение

x ²– y ² = a ² , (5)

а асимптоты имеют уравнения l ₁: y = x, l ₂: y = – x . Очевидно, что l ₁ ^ l ₂ , и мы можем выбрать их за оси новой декартовой СК Ox ¢ y ¢, которая получается из Oxy поворотом на угол – 45^о. Тогда формулы замены координат имеют вид:

x = (x ¢+ y ¢),

y = (– x ¢+ y ¢).

Подставим их в (5) и получим уравнение

2 x ¢ y ¢= a ² Û y ¢= ,

где k = a ²/2. Таким образом, равнобокая гипербола задает график обратной пропорциональности.

6. Параметрические уравнения гиперболы имеют вид:

x = ± a ch t, x = a (t + 1/ t),

y = b sh t, t Î R . y = b (t – 1/ t), t Î R \{0}.

Знак «+» соответствует одной ветви гиперболы, а «–» – другой ветви.

Упражнение. Проверьте это самостоятельно.

7. Гипербола

g¢: – = –1,

называется сопряженной к гиперболе g, заданной уравнением (4). Она имеет тот же фундаментальный прямоугольник, те же асимптоты, только расположена в другой паре вертикальных углов, образованных этими асимптотами.