Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой

Определение. Кривой второго порядка называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

а ₁₁ х ² + 2 а ₁₂ ху + а ₂₂ у ² + 2 а ₁ х + 2 а ₂ у + с = 0, (8)

в котором хотя бы один из коэффициентов а ₁₁, а ₁₂, а ₂₂ отличен от нуля. Выражение

а ₁₁ х ² + 2 а ₁₂ ху + а ₂₂ у ²

называется квадратичной часть уравнения, 2 а ₁ х + 2 а ₂ у – линейной частью, а с – свободным членом.

Если мы перейдем к новой СК Ox ¢ y ¢, то формулы замены координат будут иметь вид

x = a x ¢ + b y ¢ + b ₁,

y = g x ¢ + d y ¢ + b ₂.

Если мы подставим эти выражения в (8), то снова получим уравнение такого же вида, т.е. содержащее x ¢ и y ¢ во второй степени. Поэтому наше определение корректно, т.е не зависит от выбора СК. В дальнейшем, СК всегда предполагается декартовой.

Определение. Точка O ¢ называется центром кривой второго порядка, если она является ее центром симметрии. Кривая, которая имеет центр, называется центральной.

Предположим, что СК выбрана так, что ее начало находится в центре кривой. Тогда одновременно с точкой M (x, y) кривой будет принадлежать и точка M ¢(– x,– y). Подставим ее координаты в (7) и получим

а ₁₁ х ² + 2 а ₁₂ ху + а ₂₂ у ² – 2 а ₁ х – 2 а ₂ у + с = 0. (8¢)

Вычтем из равенства (8) равенство (8¢):

4(а ₁ х + а ₂ у) = 0.

И это должно выполняться для любой точки M (x, y) на кривой. Поэтому а ₁ = а ₂ = 0, если начало координат находится в центре. Поэтому, если изначально начало координат не находится в центре O ¢, то мы совершим параллельный перенос координатных осей в центр, и уравнение кривой в новой СК O ¢ х ¢ у ¢ примет вид

а ₁₁ х ¢² + 2 а ₁₂ х ¢ у ¢ + а ₂₂ у ¢² + с ¢ = 0, (9)

т.е. линейная часть уравнения исчезнет. При этом, коэффициенты квадратичной части останутся прежними; это будет установлено в процессе доказательства следующей теоремы.

Теорема 5. Координаты (x _o, y _o) центра кривой, заданной уравнением (8), находятся из системы линейных уравнений

а ₁₁ х _o + а ₁₂ у _o + а ₁ = 0,

а ₁₂ х _o + а ₂₂ у _o + а ₂ = 0.

Доказательство. Введем новую декартову СК O ¢ х ¢ у ¢, которая получается из Oху переносом начала в центр O ¢(x _o, y _o) кривой. Тогда формулы замены координат имеют вид:

x = x ¢ + х _o,

y = y ¢ + у _o.

Подставим эти формулы в (7):

а ₁₁(x ¢+ х _o)² + 2 а ₁₂ (x ¢+ х _o)( y ¢+ y _o) + а ₂₂(y ¢+ y _o)² +

+ 2 а ₁(x ¢+ х _o) + 2 а ₂(y ¢+ y _o) + с = 0.

После преобразований получаем

а ₁₁(x ¢)² + 2 а ₁₂ x ¢ y ¢+ а ₂₂(y ¢)² + 2(а ₁₁ х _o+ а ₁₂ у _o+ а ₁) x ¢+

+ 2(а ₁₂ х _o+ а ₂₂ у _o+ а ₂) y ¢+ с ¢= 0,

где с ¢ = j(x _o, y _o) – значение левой части уравнения (7) в точке O ¢. Поскольку в новой СК коэффициенты при x ¢ и y ¢ должны быть равны нулю, то получаем (10).

Заметим, что уравнение кривой в новой СК можно выписать, не совершая подстановки (11) и преобразований: коэффициенты квадратичной части не изменяются, надо только вычислить с ¢.

Обозначим A = – матрица квадратичной части уравнения (8) (она же является матрицей системы линейных уравнений (10)),

d = det A, d_x = –, d_y = –.

1 случай. d ¹ 0. Тогда по правилу Крамера система (10) имеет единственное решение

x _o= d_x/d, y _o= d_y /d, (*)

а кривая имеет единственный центр. Минусы были поставлены выше потому, что а ₁ и а ₂ находятся в (10) не в правой части, а в левой.

2 случай. d = 0, d_x¹ 0 и d_y¹ 0 (заметим, что в случае d = 0, определители d_x и d_y будут равны или неравны нулю только одновременно). Тогда ранг расширенной матрицы системы (10) будет равен 2, а rank A =1. Значит, согласно теореме Кронекера-Капелли система (10) не имеет решений, а кривая не имеет центра.

3 случай. d = 0, d_x = d_y = 0. Тогда оба уравнения в (10) пропорциональны, а значит, эта система имеет бесконечное количество решений, а кривая – бесконечное количество центров.

Упростим еще величину с ¢:

с ¢ = j(x _o, y _o) = а ₁₁ х _o² + 2 а ₁₂ х _o у _o + а ₂₂ у _o² + 2 а ₁ х _o + 2 а ₂ у _o + с =

= (а ₁₁ х _o + а ₁₂ у _o + а ₁) х _o+ (а ₁₂ х _o + а ₂₂ у _o + а ₂) у _o + а ₁₂ х _o + а ₂₂ у _o + с.

В силу (9) выражения в скобках равны нулю, и мы имеем

с ¢ = а ₁ х _o + а ₂ у _o + с. (12)

Подставляя сюда (*) получаем

с ¢ = а ₁ + а ₂ + с = (а ₁d_x + а ₂ d_y + с) =, (13)

где

а ₁₁ а ₁₂ а ₁

D = а ₁₂ а ₂₂ а ₂.

а ₁ а ₂ с

В скобках как раз стоит разложение D по последней строке или последнему столбцу. Равенство (13) позволяет выписать (9) не находя координат центра кривой. Но, если уже центр найден, то легче вычислить с ¢ по формулам (12).