Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми

Напомним, что углом между скрещивающимися прямыми называется угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. Другими словами, если прямые l _o и l ₁ скрещиваются, то мы должны совершить параллельный перенос прямой l _o, так чтобы получилась прямая l _o¢, пересекающаяся с l ₁, и измерять угол между l _o¢ и l ₁.

Две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр. Его длина называется расстоянием между прямыми.

Пусть две прямые в пространстве заданы своими каноническими уравнениями:

l _o: = =, l ₁: = =. (35)

Тогда сразу можем сделать вывод, что (a ₁, a ₂, a ₃)½½ l _o, (b ₁, b ₂, b ₃)½½ l ₁, A _o(x _o, y _o, z _o)Î l _o, A ₁(x ₁, y ₁, z ₁)Î l ₁. Составим матрицу

x ₁– x _o y ₁– y _o z ₁– z _o

A = a ₁ a ₂ a ₃,

b ₁ b ₂ b ₃

и пусть D = det A.

Теорема 8. 1. Угол между l и p вычисляется по формуле

cos a = =. (36)

2. Прямые l _o и l ₁ скрещиваются Û D ≠ 0.

3. Прямые l _o и l ₁ пересекаются Û D = 0 и не коллинеарен.

4. l _o½½ l ₁ Û rank A = 2 и ½½.

5. l _o= l ₁ Û rank A = 1.

Доказательство. 1. Угол a между прямыми l _o и l ₁ может быть равен углу b между их направляющими векторами, , а может быть смежным с ним. В первом случае

cos a = cos b =,

а во втором случае

cos a = – cos b =½ cos b½ =.

Эта формула подойдет и к первому случаю. Обратите внимание, что на чертеже изображена не прямая l _o, а параллельная ей прямая l _o¢.

2, 3. Очевидно, что прямые l _o и l ₁ не параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы и не коллинеарны. При этом, прямые лежат в одной плоскости и пересекаются Û векторы, , компланарны Û их смешанное произведение равно нулю: = 0. А в координатах это произведение точности равно D.

Соответственно, если D ≠ 0, то векторы,, не компланарны, а значит, прямые l _o и l ₁ не лежат в одной плоскости Þ они скрещиваются.

4, 5. Если l _o½½ l ₁ или l _o= l ₁, то ½½ . Но в первом случае вектор неколлинеарен и, и поэтому первая строка в матрице A непропорциональна второй и третей строкам. Значит, rank A = 2.

Во втором случае все три вектора, , коллинеарны друг другу, и поэтому, все строки

в матрице A пропорциональны. Значит, rank A = 1.

И обратно, если ||, то прямые l _o и l ₁ параллельны или совпадают; при этом, вторая и третья строки матрицы A пропорциональны. Если, при этом, rank A = 2, то первая строка матрицы непропорциональна второй и третьей, а значит, вектор неколлинеарен и Û l _o|| l ₁. Если же rank A = 1, то все строки в матрице A пропорциональны, а значит, все три вектора ,, коллинеарны друг другу Û l _o= l ₁.

Теорема 9. Пусть две прямые l _o и l ₁ в пространстве заданы своими каноническими уравнениями (35). Тогда

1. если l _o½½ l ₁, то расстояние между l _o и l ₁ находится по формуле

h =, (37)

2. если l _o и l ₁ скрещиваются, то расстояние между ними находится по формуле

h =. (38)

Доказательство. 1. Пусть l _o½½ l ₁. Отложим вектор от точки A _o, и на векторах и построим параллелограмм. Тогда его высота h будет расстоянием между l _o и l ₁. Площадь этого параллелограмма: S =½ ´½, а основание равно ½ ½. Поэтому

h = S/ ½ ½ = (37).

2. Пусть l _o и l ₁ скрещиваются. Проведем через прямую l _o плоскость p_o½½ l ₁, а через прямую l ₁ проведем плоскость p₁½½ l _o.

Тогда общий перпендикуляр к l _o и l ₁ будет общим перпендикуляром к p_o и p₁. Отложим векторы и из точки A _o и на векторах, и построим параллелепипед. Тогда его нижнее основание лежит в плоскости p_o, а верхнее – в плоскости p₁. Поэтому высота параллелепипеда будет общим перпендикуляром к p_o и p₁, а ее величина h будет расстоянием между l _o и l ₁. Объем параллелепипеда равен ½ ½, а площадь основания – ½´½ Þ

h = V/S _осн = (38).

Следствие. Расстояние от точки A ₁(x ₁, y ₁, z ₁) до прямой l, заданной уравнением

l: = =

вычисляется по формуле (37).

Примеры решения задач.

1. Даны координаты вершин A (1,– 6), B (–3, 0), C (6, 9) треугольника ABC. Составить уравнение окружности описанной вокруг треугольника.

Решение. Для того, чтобы составить уравнение окружности нам необходимо знать ее радиус R и координаты центра О (a, b). Тогда уравнение выглядит так:

(x – a)² +(y – b)² = R ².

Центр окружности, описанной вокруг треугольника находится на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника. Находим координаты середин M ₁(x ₁, y ₁), и M ₃(x ₃, y ₃) сторон BC и AB соответственно:

x ₁= = =, y ₁= = =, M ₁.

Аналогично M3(–1,–3).

Пусть l ₃ – прямая, являющаяся серединным перпендикуляром к AB, а l ₁ – к BC. Тогда = (– 4, 6) ^ l ₃ и l ₃ проходит через M ₃ . Поэтому ее уравнение:

– 4(x +1) + 6(y +3) = 0.

Аналогично = (9, 9) ^ l ₃. Поэтому уравнение l ₁:

9(x - ) + 9(y -) = 0

x + y – 6 = 0.

Имеем О = l ₁ I l ₃. Поэтому, чтобы найти координаты точки О необходимо решить совместно уравнения l ₁ и l ₃ :

x + y – 6 = 0,

– 4 x + 6 y +14 = 0.

Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:

x + y – 6 = 0,

10 y – 10 = 0.

Отсюда y = 1, x = 5, O (5, 1).

Радиус равен расстоянию от О до любой из вершин треугольника. Находим:

R =½½= =.

Значит уравнение окружности:

(x – 5)² + (y –1)² = 65.

2. В прямоугольном треугольнике ABC известныуравнение одного из катетов 3 x – 2 y + 5 = 0, координаты вершины C (–5,–5) и координаты середины O (–3/2,–3) гипотенузы AB. Найти координаты

вершин A, B и координаты точки E, симметричной O относительно стороны BC. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника ABC.

Решение. Пусть катет, уравнение которого нам дано, – это СВ. Он задан общим уравнением вида

ax + by + c = 0.

В данном уравнении геометрический смысл

коэффициентов a и b – это координаты вектора нормали (a, b). Поэтому (3,-2)^ ВС.

Составим уравнение перпендикуляра l = OD к стороне СВ и найдем координаты точки D. Вектор будет параллелен OD, т.е. он является направляющим вектором этой прямой. Кроме этого, нам известны координаты точки О на этой прямой. Составляем параметрическое уравнение l:

x = – + 3 t, (*)

y = – 3 - 2 t.

Имеем D = l I BC. Поэтому, для того, чтобы найти координаты этой точки мы должны решить совместно уравнения l и BC. Подставляем x и y из уравнения l в уравнение BC:

3(– + 3 t) –2(–3 -2 t)+5 = 0,

– + 9 t +6 +4 t +5 = 0,

13 t = –, t_D = –.

Подставляем найденное t в уравнение l и находим координаты точки D (–3,–2). Для того, чтобы найти координаты E вспомним физический смысл параметрического уравнения прямой: оно задает прямолинейное и равномерное движение. В нашем случае, начальная точка – это О, вектор скорости – это. Отрезок ОE вдвое длиннее отрезка ОD. Если за время t_D = – мы прошли путь от О до D, то путь от О до E мы пройдем за время t_E = 2 t_D = –1. Подставляя это значение в (*), находим E (– 4,5;–1).