Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой

Определение. Говорим, что общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0, (14)

имеет нормальную форму, если A ²+ B ² = 1. Это равносильно тому, что вектор (A, B) – единичный.

Если уравнение (14) не имеет нормальной формы, то мы можем привести его к этой форме, разделив на:

x + y + = 0.

Тогда ²+ ²= 1.

Теорема 3. Пусть прямая l определяется уравнением (14) в нормальной форме. Тогда расстояние от точки M (x ₁, y ₁) до прямой вычисляется по формуле

h =½ Ax ₁+ By ₁+ C ½. (17)

Следствие. Если прямая определяется произвольным уравнением вида (14), то

h = . (17¢)

Доказательство. Пусть (A, B) – вектор нормали к l. Поскольку уравнение имеет нормальную форму, то ½½ = 1. Пусть M _o(x _o, y _o) – произвольная точка на прямой. Опустим перпендикуляр MN

на прямую l . Пусть a =Ð( , ), b =Ð MM _o N .

1 случай. Точка M и вектор лежат в одной полуплоскости относительно прямой l. Тогда

h =½ MN ½=½ MM _o½·sin b =½½·sin( – a) =

=½½·cos a·½½= ·

(мы домножили на ½½, поскольку эта величина равна единице). Находим, что (x ₁– x _o, y ₁– y _o) Þ

h = A (x ₁– x _o) + B (y ₁– y _o) = Ax ₁+ By ₁+ C – (Ax _o+ By _o+ C)

(мы добавили и отняли C ). Поскольку M _oÎ l, то выражение в скобках равно нулю, и мы получаем

h = Ax ₁+ By ₁+ C.

2 случай. Точка M и вектор лежат в разных полуплоскостях относительно прямой l. Тогда b = a – p/2 Þ sin b = – cos a и те же самые вычисления дают

h = – · = – Ax ₁ – By ₁ – C.

Поскольку h – это расстояние, то h ³ 0. Это

значит, что во втором случае Ax ₁+ By ₁+ C < 0 (равенство исключается, т.к. M Ï l). Поэтому

h =½ Ax ₁+ By ₁+ C ½.

Эта формула подойдет и к первому случаю.

Попутно мы выяснили, что знак выражения Ax ₁+ By ₁+ C зависит от того, в какой полуплоскости находится точка M. Это позволяет для двух данных точек M ₁, M ₂ выяснить, лежат ли они в одной полуплоскости относительно прямой l или в разных (Û пересекает отрезок M ₁ M ₂ прямую l или нет).

§5. Уравнение прямой в полярных координатах.

Пусть на плоскости заданы прямая l и полярная система координат, OP – полярная ось. Опустим перпендикуляр ON из полюса на прямую l. Обозначим p =½ ON ½ – его длина, a – ориентированный угол между OP и ON. Пусть M (r, j) – произвольная точка прямой.

Тогда из D OMN находим

p = r ·cos(a – j) или p = r ·cos(j – a). (18)

Поскольку косинус четная функция, то достаточно только первого уравнения.

Обратно, если координаты точки M (r, j) удовлетворяют (18), то D OMN – прямоугольный Þ M Î l.

Итак, (18) представляет собой уравнение прямой в полярных координатах.

Введем теперь декартову СК так, чтобы Ox ­­ OP. Уравнение (18) можно переписать так:

r cos j cos a + r sin j sin a – p = 0.

Согласно формулам перехода r ·cos j = x, r ·sin j = y Þ

x cos a + y sin a – p = 0. (19)

Это уравнение называют нормальным уравнением прямой. Еще раз отметим геометрический смысл используемых в этом уравнении параметров: p – это длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а a – ориентированный угол между осью Ox и этим перпендикуляром. Поскольку cos²a + sin²a = =1, то это уравнение имеет нормальную форму, как это было определено в предыдущем параграфе.

Упражнение. Пусть две прямые заданы своими уравнениями в полярных координатах: l ₁: p ₁ = r ·cos(a₁ – j), l ₂: p ₂ = r ·cos(a₂ – j). Выпишите условия параллельности и совпадения этих прямых, а также найдите угол между ними. Найдите, чему равно расстояние между l ₁ и l ₂, если они параллельны.

Пучок прямых.

Пусть две несовпадающие прямые на плоскости заданы своими общими уравнениями:

l ₁: A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0,

l ₂: A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0.

Рассмотрим совокупность всех прямых, которые задаются различными уравнениями вида

(l A ₁+m A ₂) x + (l B ₁+m B ₂) y + l C ₁+ m C ₂ = 0, (20)

где l и m – числа не равные нулю одновременно. Это множество называется пучком прямых. Очевидно, при l = 1, m = 0 мы получим уравнение прямой l ₁, а при l = 0, m = 1 – уравнение прямой l ₂. Таким образом, прямые l ₁ и l ₂ тоже входят в пучок.

Теорема 4. 1. Если прямые l ₁ и l ₂ пересекаются в точке M _o, то определяемый ими пучок прямых, состоит из всех прямых, проходящих через M _o.

2. Если l ₁½½ l ₂, то определяемый этими прямыми пучок состоит из всех параллельных им прямых.

Доказательство. 1. Перепишем (20) в виде

l(A ₁ x + B ₁ y + C ₁) + m(A ₂ x + B ₂ y + C ₂) = 0. (20¢)

Пусть M _o(x _o, y _o) = l ₁I l ₂. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Подставим ее координаты в (20¢):

l(A ₁ x _o+ B ₁ y _o+ C ₁) + m(A ₂ x _o+ B ₂ y _o+ C ₂) = 0.

Поскольку обе скобки должны быть равны нулю, то мы получаем верное равенство независимо от l и m. Таким образом, все прямые пучка (20) проходят через M _o.

Покажем, что в пучок входят все прямые, проходящие через M _o. Пусть M (x ₁, y ₁) – произвольная точка плоскости, отличная от M _o. Подставим ее координаты в (20¢) и обозначим

X = A ₁ x ₁+ B ₁ y ₁+ C ₁, Y = A ₂ x ₁+ B ₂ y ₁+ C ₂.

Получим уравнение

l X + m Y = 0 (*)

относительно неизвестных l и m. Это уравнение всегда имеет решение (l_o, m_o). При l=l_o и m=m_o уравнение (20) будет задавать прямую, проходящую через M.

2. Пусть l ₁½½ l ₂. Тогда выполнено

= = k.

Пусть l – произвольная прямая из пучка (20). Применим к ней признак параллельности с прямой l ₂:

= Û l + m = l + m Û l k + m = l k + m,

т.е. имеем верное равенство. Значит l ½½ l ₂.

Покажем, что в пучок входят все прямые параллельные l ₁ и l ₂. Пусть M (x ₁, y ₁) – произвольная точка плоскости, не лежащая ни на l ₁, ни на l ₂. Подставив ее координаты в (20¢) также получим уравнение (*) относительно неизвестных l и m, где X и Y оба ненулевые. При l и m , удовлетворяющих (*) уравнение (20) будет задавать прямую, проходящую через M.

Если все прямые пучка пересекаются в точке M _o, то точка M _o называется центром пучка, и пучок прямых называется собственным или центральным. Если все прямые пучка параллельны друг другу, то пучок называется нецентральным или несобственным.