Определение. Говорим, что общее уравнение прямой
Ax + By + C = 0, (14)
имеет нормальную форму, если A 2+ B 2 = 1. Это равносильно тому, что вектор (A, B) – единичный.
Если уравнение (14) не имеет нормальной формы, то мы можем привести его к этой форме, разделив на:
x + y + = 0.
Тогда 2+ 2= 1.
Теорема 3. Пусть прямая l определяется уравнением (14) в нормальной форме. Тогда расстояние от точки M (x 1, y 1) до прямой вычисляется по формуле
h =½ Ax 1+ By 1+ C ½. (17)
Следствие. Если прямая определяется произвольным уравнением вида (14), то
h = . (17¢)
Доказательство. Пусть (A, B) – вектор нормали к l. Поскольку уравнение имеет нормальную форму, то ½½ = 1. Пусть M o(x o, y o) – произвольная точка на прямой. Опустим перпендикуляр MN
на прямую l . Пусть a =Ð( , ), b =Ð MM o N .
1 случай. Точка M и вектор лежат в одной полуплоскости относительно прямой l. Тогда
h =½ MN ½=½ MM o½·sin b =½½·sin( – a) =
=½½·cos a·½½= ·
(мы домножили на ½½, поскольку эта величина равна единице). Находим, что (x 1– x o, y 1– y o) Þ
h = A (x 1– x o) + B (y 1– y o) = Ax 1+ By 1+ C – (Ax o+ By o+ C)
(мы добавили и отняли C ). Поскольку M oÎ l, то выражение в скобках равно нулю, и мы получаем
h = Ax 1+ By 1+ C.
2 случай. Точка M и вектор лежат в разных полуплоскостях относительно прямой l. Тогда b = a – p/2 Þ sin b = – cos a и те же самые вычисления дают
h = – · = – Ax 1 – By 1 – C.
Поскольку h – это расстояние, то h ³ 0. Это
значит, что во втором случае Ax 1+ By 1+ C < 0 (равенство исключается, т.к. M Ï l). Поэтому
h =½ Ax 1+ By 1+ C ½.
Эта формула подойдет и к первому случаю.
Попутно мы выяснили, что знак выражения Ax 1+ By 1+ C зависит от того, в какой полуплоскости находится точка M. Это позволяет для двух данных точек M 1, M 2 выяснить, лежат ли они в одной полуплоскости относительно прямой l или в разных (Û пересекает отрезок M 1 M 2 прямую l или нет).
§5. Уравнение прямой в полярных координатах.
Пусть на плоскости заданы прямая l и полярная система координат, OP – полярная ось. Опустим перпендикуляр ON из полюса на прямую l. Обозначим p =½ ON ½ – его длина, a – ориентированный угол между OP и ON. Пусть M (r, j) – произвольная точка прямой.
Тогда из D OMN находим
p = r ·cos(a – j) или p = r ·cos(j – a). (18)
Поскольку косинус четная функция, то достаточно только первого уравнения.
Обратно, если координаты точки M (r, j) удовлетворяют (18), то D OMN – прямоугольный Þ M Î l.
Итак, (18) представляет собой уравнение прямой в полярных координатах.
Введем теперь декартову СК так, чтобы Ox OP. Уравнение (18) можно переписать так:
r cos j cos a + r sin j sin a – p = 0.
Согласно формулам перехода r ·cos j = x, r ·sin j = y Þ
x cos a + y sin a – p = 0. (19)
Это уравнение называют нормальным уравнением прямой. Еще раз отметим геометрический смысл используемых в этом уравнении параметров: p – это длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а a – ориентированный угол между осью Ox и этим перпендикуляром. Поскольку cos2a + sin2a = =1, то это уравнение имеет нормальную форму, как это было определено в предыдущем параграфе.
Упражнение. Пусть две прямые заданы своими уравнениями в полярных координатах: l 1: p 1 = r ·cos(a1 – j), l 2: p 2 = r ·cos(a2 – j). Выпишите условия параллельности и совпадения этих прямых, а также найдите угол между ними. Найдите, чему равно расстояние между l 1 и l 2, если они параллельны.
Пучок прямых.
Пусть две несовпадающие прямые на плоскости заданы своими общими уравнениями:
l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.
Рассмотрим совокупность всех прямых, которые задаются различными уравнениями вида
(l A 1+m A 2) x + (l B 1+m B 2) y + l C 1+ m C 2 = 0, (20)
где l и m – числа не равные нулю одновременно. Это множество называется пучком прямых. Очевидно, при l = 1, m = 0 мы получим уравнение прямой l 1, а при l = 0, m = 1 – уравнение прямой l 2. Таким образом, прямые l 1 и l 2 тоже входят в пучок.
Теорема 4. 1. Если прямые l 1 и l 2 пересекаются в точке M o, то определяемый ими пучок прямых, состоит из всех прямых, проходящих через M o.
2. Если l 1½½ l 2, то определяемый этими прямыми пучок состоит из всех параллельных им прямых.
Доказательство. 1. Перепишем (20) в виде
l(A 1 x + B 1 y + C 1) + m(A 2 x + B 2 y + C 2) = 0. (20¢)
Пусть M o(x o, y o) = l 1I l 2. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Подставим ее координаты в (20¢):
l(A 1 x o+ B 1 y o+ C 1) + m(A 2 x o+ B 2 y o+ C 2) = 0.
Поскольку обе скобки должны быть равны нулю, то мы получаем верное равенство независимо от l и m. Таким образом, все прямые пучка (20) проходят через M o.
Покажем, что в пучок входят все прямые, проходящие через M o. Пусть M (x 1, y 1) – произвольная точка плоскости, отличная от M o. Подставим ее координаты в (20¢) и обозначим
X = A 1 x 1+ B 1 y 1+ C 1, Y = A 2 x 1+ B 2 y 1+ C 2.
Получим уравнение
l X + m Y = 0 (*)
относительно неизвестных l и m. Это уравнение всегда имеет решение (lo, mo). При l=lo и m=mo уравнение (20) будет задавать прямую, проходящую через M.
2. Пусть l 1½½ l 2. Тогда выполнено
= = k.
Пусть l – произвольная прямая из пучка (20). Применим к ней признак параллельности с прямой l 2:
= Û l + m = l + m Û l k + m = l k + m,
т.е. имеем верное равенство. Значит l ½½ l 2.
Покажем, что в пучок входят все прямые параллельные l 1 и l 2. Пусть M (x 1, y 1) – произвольная точка плоскости, не лежащая ни на l 1, ни на l 2. Подставив ее координаты в (20¢) также получим уравнение (*) относительно неизвестных l и m, где X и Y оба ненулевые. При l и m , удовлетворяющих (*) уравнение (20) будет задавать прямую, проходящую через M.
Если все прямые пучка пересекаются в точке M o, то точка M o называется центром пучка, и пучок прямых называется собственным или центральным. Если все прямые пучка параллельны друг другу, то пучок называется нецентральным или несобственным.
