Классификация центральных кривых второго порядка (случай d ¹ 0)

Попробуем дальше упростить уравнение (9). Выберем новую декартову СК O ¢ x ² y ², которая получается из O ¢ x ¢ y ¢ поворотом координатных осей на некоторый угол a. Тогда формулы замены координат имеют вид:

x ¢ = x ²·cos a – y ²·sin a,

y ¢ = x ²·sin a + y ²·cos a.

Подставим эти формулы в (9):

а ₁₁(x ²·cos a – y ²·sin a)² + 2 а ₁₂(x ²·cos a – y ²·sin a)(x ²·sin a + y ²·cos a) +

+ а ₂₂(x ²·sin a + y ²·cos a)² + с ¢ = 0,

Раскроем скобки и приведем подобные при одинаковых координатах. Тогда коэффициент x ² y ² будет равен

– а ₁₂sin²a + (а ₂₂ – а ₁₁)sin a·cos a + а ₁₂cos²a

Приравняем это выражение к нулю, и получившееся уравнение разделим на – cos²a:

а ₁₂ tg²a + (а ₁₁ – а ₂₂) tg a + а ₁₂ = 0. (15)

Это квадратное уравнение относительно неизвестного tg a, его дискриминант

D = (а ₁₁ – а ₂₂)² + а ₁₂ ³ 0.

Значит, (14) всегда имеет решение, т.е всегда существует такой угол a, что в новой СК мы получим уравнение кривой без слагаемого, содержащего x ² y ². В результате наше уравнение будет иметь вид

l₁(x ²)² + l₂(y ²)² + = 0. (16)

Примем пока без доказательства, что коэффициенты l₁ и l₂ являются корнями уравнения

= 0;

 

в развернутом виде:

l²– s l + d = 0, (17)

где s = trace A = а ₁₁ – а ₂₂ – след матрицы A. Оно называется характеристическим уравнением кривой второго порядка. Согласно теореме Виета получаем

l₁+ l₂ = s , l₁·l₂ = d.

Относительно новой СК O ¢ x ² y ² получаем

A¢ =, d¢= det A¢= l₁·l₂ = d, s ¢= trace A¢ = l₁+l ₂ = s,

 

l₁ 0 0

D¢ =0 l₂ 0 = l₁·l₂· (D/d) = D.

0 0 D/d

Таким образом, d¢= d, s ¢= s, D¢ = D, т.е. величины d, s, D не изменяются при переходе к новой декартовой СК. Поэтому они называются инвариантами кривой второго порядка.

1 случай: D ¹ 0. Если опустить штрихи, то уравнение (16) можно переписать в виде

+ = 1. (18)

Обозначим a ² = |D/l₁d|, b ² = |D/l₂d|.

а) d > 0, s D < 0. Тогда l₁·l₂> 0, т.е. l₁ и l ₂ одного знака, и (l₁+ l ₂)·D < 0, т.е. знак D противоположен знаку l₁ и l ₂. Поэтому оба знаменателя в (17) положительны, и уравнение (15) задает эллипс:

+ = 1.

б) d > 0, s D > 0. Тогда оба знаменателя в (18) отрицательны, и уравнение имеет вид

+ = –1.

Говорят, что оно задает мнимый эллипс. На действительной плоскости это пустое множество.

в) d < 0, D ¹ 0. Тогда l₁ и l ₂ имеют разные знаки, и поэтому знаменатели в (17) имеют разные знаки. Получаем уравнение

– = 1 или – = –1.

В любом случае получается уравнение гиперболы.

2 случай: D = 0. В этом случае уравнение (15) принимает вид (штрихи опускаем):

l₁ x ² + l ₂ y ² = 0. (19)

Обозначим a ² =½l₁½, b ² =½l₂½.

а) d < 0. Тогда l₁ и l ₂ разного знака и (18) можно переписать в виде

a ² x ² – b ² y ² = 0 Û

Û (ax – b y)·(ax + b y) = 0.

Этому уравнению удовлетворяют точки, для которых ax – by = 0 и точки для которых ax + by = 0. Поэтому оно определяет пару прямых, очевидно, пересекающихся в центре O ¢ и симметричных относительно координатных осей.

б) d > 0. Тогда l₁ и l ₂ имеют одинаковые знаки и (19) можно переписать в виде

a ² x ²+ b ² y ² = 0 Û (ax – i b y)·(ax + i b y) = 0.

(i – мнимая единица). Говорят, что это уравнение задает пару мнимых пересекающихся прямых. Но пересекаются они в действительной точке O ¢ – центре кривой.

В случае d = D = 0 кривая тоже имеет центр (бесконечное количество центров), но этот случай мы рассмотрим в следующем параграфе.

§9. Классификация нецентральных кривых второго порядка (случай d = 0).

Пусть теперь d = 0. Тогда мы не можем использовать процедуру нахождения центра, и сразу совершаем поворот координатных осей на угол, тангенс которого находится из уравнения (14). Получим новую декартову СК с тем же началом Ox ¢ y ¢. Формулы замены координат имеют вид

x = x ¢ × cos a – y ¢ × sin a,

y = x ¢ × sin a + y ¢ × cos a.

Здесь на один штрих с каждой стороны меньше, чем в (14), поскольку это первая замена координат. В этой СК уравнение кривой не будет включать слагаемое, содержащее произведение x ¢ y ¢:

l₁ x ¢² + l ₂ y ¢² + 2 b ₁ х ¢ + 2 b ₂ у ¢ + с = 0, (20)

Заметим, что коэффициент с останется прежним, а непосредственное вычисление показывает, что

b ₁= a ₁ × cos a + a ₂ × sin a, b ₂ = a ₁ × sin a + a ₂ × cos a.

Числа l₁ и l ₂ можно найти из уравнения (17). Так как d = l₁·l₂ = 0, то один из корней будет равен нулю. Пусть это будет l₁. Имеем уравнение

l ₂ y ¢² + 2 b ₁ х ¢ + 2 b ₂ у ¢ + с = 0. (21)

Для этого уравнения

0 0 b ₁

D = 0 l₂ b ₂ = – l₂ b ₁².

b ₁ b ₂ с

1 случай: D = 0 Û b ₁= 0. Уравнение имеет вид l ₂ y ¢² + 2 b ₂ у ¢ + с = 0. Выделим полный квадрат:

l ₂( y ¢ ² + у ¢ + ) – + с = 0 Û l ₂( y ¢ + )²– + с = 0.

Обозначим с ¢= (b ₁²- l ₂ с) /l ₂, a ² =½ с ¢½ и сделаем замену координат:

x ²= x ¢ ,

y ²= y ¢ + ,

которая равносильна переносу начала координат в точку O ¢(0,– b ₁/l₂) _{Ox ¢ y ¢}(подчеркнем, что координаты указаны в промежуточной СК Ox ¢ y ¢). Получим уравнение

(y ²)² = a ².

а) с ¢ > 0 Þ (y ²)² = a ², т.е. y ² = a или y ² =– a. Наша кривая – это пара параллельных прямых.

б) с ¢ > 0 Þ (y ²)² =– a ², т.е. y ² = i a или y ² =– i a. Говорят, что наше уравнение задает пару мнимых параллельных прямых.

в) с ¢ = 0 Þ (y ²)² =0. Говорят, что это уравнение задает пару совпадающих прямых.

2 случай: D ¹ 0 Û b ₁¹ 0. Так же, как и в предыдущем случае, выделяем в (21) полный квадрат по y:

l ₂²– + 2 b ₁ х ¢ + с = 0,

а затем преобразуем так:

l ₂²+ 2 b ₁ = 0.

Обозначим c ¢ = и сделаем замену координат:

x ²= х ¢ – c ¢,

y ²= y ¢ + ,

которая равносильна переносу начала координат в точку O ¢ _{Ox ¢ y ¢}. Получим уравнение

l ₂(y ²)² + 2 b ₁ х ² = 0 Û (y ²)² = 2 pх ²,

где p = – 2 b ₁/l ₂. Это уравнение задает параболу.

Итак, мы установили, что общее уравнение кривой второго порядка (8) задает одну из следующих кривых второго порядка (sign x означает знак числа x).

 

sign d	sign s ·D	Кривая и ее каноническое уравнение	Кол-во центров
+	–	Эллипс + = 1
+	+	Мнимый эллипс + = –1
–	±	Гипербола – = 1
–		Пара пересекающихся прямых	a 2 x 2 – b 2 y 2 = 0
+		Пара мнимых пересекающихся прямых	a 2 x 2 + b 2 y 2 = 0
	±	Парабола y 2 = 2 pх,
		Пара параллельных прямых x 2 = a 2 Пара мнимых параллельных прямых x 2 = – a 2 Пара совпадающих прямых x 2 = 0	¥

Примеры решения задач.

1. Составить уравнение кривой, каждая точка которой расположена вдвое дальше от точки F (3, 3), чем от оси Ox. Определить тип кривой и изобразить ее в декартовой системе координат.

Решение. Пусть M (x, y) – произвольная точка кривой, MM ¢ – перпендикуляр, опущенный на O. Тогда расстояние от M до Ox равно | MM ¢|=| y | (см. чертеж в конце решения), а | MF |=. По условию выполняется

= 2| y |.

Возведение в квадрат, вообще говоря, не является равносильным переходом; но в данном случае обе части равенства неотрицательны. Поэтому, без всяких дополнительных ограничений возводим в квадрат:

(x – 3)² +(y – 3)² = 4 y ².

Мы раскроем только вторую скобку, и после приведения подобных вновь соберем полный квадрат:

(x – 3)² + y ² – 6 y + 9 – 4 y ²= 0,

(x – 3)² –3 y ² – 6 y + 9 = 0,

(x – 3)² –3(y ² + 2 y + 1 – 4) = 0,

(x – 3)² – 3(y + 1)² = –12.

Делаем замену координат

x ¢= x – 3,

y ¢= y + 1.

Она означает перенос начала координат в точку O ¢(3,–1). Получившееся уравнение делим на –12:

– = –1.

Это уравнение задает гиперболу с полуосями a =2 » 3,4, b =2. Центр гиперболы находится в точке O ¢(3,–1). Подробное описание построения приводится в решении задачи 2а).

2. С помощью переноса начала координат и поворота координатных осей привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и изобразить её в исходной системе координат:

а) 25 х ² – 14 ху + 25 у ² + 64 х – 64 у – 224 = 0.

Решение. Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости имеет вид:

а ₁₁ х ² + 2 а ₁₂ ху + а ₂₂ у ² + 2 а ₁ х + 2 а ₂ у + с = 0. (8)

Если

d = ¹ 0,

то кривая имеет центр О ¢(х _o, у _o), координаты которого можно найти из системы линейных уравнений:

a ₁₁ x _o + a ₁₂ y _o + a ₁ = 0, (10)

a ₁₂ x _o + a ₂₂ y _o + a ₂ = 0.

Если мы совершим параллельный перенос начала координат в точку О', то уравнение кривой примет вид:

а ₁₁ х' ² + 2 а ₁₂ х' у' + а ₂₂ у' ² + с' = 0, (9)

где

с' = а ₁ х _o+ а ₂ у _o+ с. (12)

Вычисляем:

d = = 576 ¹ 0,

Значит, кривая имеет центр. Найдем координаты центра (х _o, y _o) из системы уравнений (10):

25 х _o – 7 у _o+ 32 = 0, Û 25 х _o – 7 у _o = –32,

–7 х _o+ 25 у _o– 32= 0. –7 х _o+ 25 у _o= 32.

Для решения применим правило Крамера: x _o=, у _o =, где d _x получается заменой первого столбца в d на столбец свободных членов, а d _y – второго столбца:

d _x = = 32· = 32·(–18) = –576.

d _y = = 32· = 32·18 = 576.

x _o= = –1, y _o= = 1.

Значит, центр кривой находится в точке О' (–1, 1). Совершим перенос начала координат в точку О' и получаем новую декартову систему координат О ¢ х ¢ у ¢. Формулы замены координат имеют вид:

x = x' + 1,

у = у' – 1.

Однако делать эту подстановку в исходное уравнение кривой не следует; мы заранее из теории знаем, что получится в результате этой подстановки: уравнение примет вид (9) (то есть линейная часть уравнения исчезнет, а коэффициенты квадратичной части не изменятся), где с' находится по формуле (12):

с' = 32·(–1) – 32·1 – 224 = –288.

Уравнение данной кривой второго порядка в новой системе координат:

25 х ¢² – 14 х ¢ у ¢ + 25 у ¢² = 288. (9¢)

Далее совершаем поворот координатных осей на угол a, тангенс которого находится по формуле:

а ₁₂tg²a + (а ₁₁ – а ₂₂) ·tga – а ₁₂ = 0, (15)

–7tg²a +(25 – 25)tga + 7= 0,

tg²a = 1 tg a₁= 1 или tg a₂ = –1.

Можем выбрать любое из них. Но, как правило, выбираем такое a, для которого tg a > 0. Имеем: a =, sin a = cos a =.

Получим новую систему координат О' х''у''. Формулы замены координат имеют вид:

х ¢ = х ²соs a – y ²sin a,

y ¢ = х ²sin a + y ²cos a.

В нашем случае:

х' = (х'' – y''),

y' = (х'' + y'').

Подставим эту замену в (9¢):

[25(х ²– y ²)² –14(х ²– y ²)·(х ²+ y ²) + 25(х ² + y ²)² ] = 288

[25 х ²² – 50 х ² y ²+25 y ²² – 14 х ²+14 y ² + 25 х ²² + 50 х ² y ²+ 25 y ²²] = 288.

Слагаемые, содержащие произведение х'' y'' обязательно должны сократиться. Если это не происходит, то следует искать ошибку выше.

[36 х'' ² + 64 y'' ²] = 288, 9 х'' ² + 16 y'' ² = 144,

+ = 1.

Это уравнение задает эллипс с полуосями а = 4, b = 3. Строим эллипс.

Для этого сначала строим исходную систему координат Oxy, затем в этой системе находим точку О ¢ и строим промежуточную систему координат О ¢ x ¢ y ¢, которая получается из Oxy переносом начала в точку О'. Затем поворачиваем координатные оси на выбранный нами ранее угол a и получаем окончательную систему координат О ¢ x ² y ². Именно на осях этой системы координат мы и откладываем полуоси эллипса.

В нашем случае a = 45^о, и поэтому повернутые оси легко построить. В более общем случае, если мы нашли, что tg a = a / b, мы этот угол очень легко можем построить на клетчатой бумаге: по оси О'x' мы откладываем отрезок равный b, а по оси О'y' – отрезок равный а. Например, на данном рисунке построен угол, у которого tg a = 3/4.

 

 

б) 7 x ²+16 xy -23 y ²-14 x -16 y -218=0.

Решение.

d= =-161-64=-225≠0.

Значит, ищем координаты центра:

7 x _o+ 8 y _o-7=0, 7 x _o+8 y _o=7,

8 x _o-23 y _o-8=0, x _o-23 y _o=8.

По правилу Крамера:

d _x = =-161-64=-225≠0, d _y = =0.

x _o= = -1, y _o= =0.

Значит центр кривой находится в точке O' (1, 0). Совершаем перенос начала координат в точку О' и получаем новую декартову систему координат O' х' у'. Формулы замены координат:

x = x ¢ +1,

y = y ¢

Находим c ¢ = -7 x _o-8 y _o+ c = -7-218 = -225. Значит в новой системе координат уравнение кривой примет вид:

7 x ¢ ² + 16 x ¢ y ¢ - 23 y ¢ ² -225 = 0. (*)

Совершаем поворот координатных осей на угол a, тангенс которого находим из уравнения (5):

8tg²a +30tga -8=0,

4tg²a +15tga -4=0,

D =225+64=289,

tga₁= =, tga₂= = -4.

Выбираем положительный тангенс: tga =. Находим sina = , cosa =. В уравнении (*) делаем замену:

 

[7(4 x" - y")²+16(4 x" - y")(x" +4 y")-23(x" +4 y")²]=225,

[112 x" ²- 56 x"y" +7 y" ²+64 x" ²+ 240 x"y" -64 y" ²–

-23 x" ²- 184 x"y " -368 y" ²]=225

При приведении подобных, слагаемые содержащие произведения x"y" должны сократиться. Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.

[153 x" ²-425 y" ²]=225,

9 x" ²-25 y" ²=225,

- =1.

Получилось уравнение гиперболы с полуосями a = 5, b = 3.

Описание построения:

1) О ¢(1, 0) - новое начало координат, О ¢ x ¢|| Оx, О ¢ y ¢|| Оy - вспомогательные оси;

2) совершаем поворот координатных осей, зная что tg α = 1/4; получаем новые координатные оси О ¢ х" и О ¢ y" (способ построения см. в конце решения задачи 2а)).

3) в новой системе координат О ¢ х"y" строим фундаментальный прямоугольник: a = 5, b = 3;

4) проводим диагонали фундаментального прямоугольника, они будут являться асимптотами гиперболы;

5) строим гиперболу: она стремится к асимптотам, касаясь фундаментального прямоугольника.

в) 9 x ² - 24 xy + 16 y ² - 20 x + 110 y - 50 = 0.

d = = 0

В данном случае не можем применить процедуру нахождения центра и сразу поворачиваем координатные оси:

-12 tg²a-7tga+12 =0,

D =49+576=625,

tg a₁ = =, tg a₂ = = – .

sina=; cosa= .

 

Поскольку это первая замена координат, то вид формул отличается от (6) количеством штрихов. Подставляем в первоначальное уравнение:

[9(4 x ¢ - 3 y ¢)² - 24(4 x ¢ - 3 y ¢)(3 x ¢ + 4 y ¢) + 16(3 x ¢ + 4 y ¢)²] –

- (4 x ¢ - 3y¢) + (3 x ¢ + 4 y ¢) - 50 = 0,

[144 x ¢ ² -216 x ¢ y' +81 y ¢ ²-288 x ¢² -168 x ¢ y ¢ +288 y ¢ ²+ 144 x ¢² +384 x ¢ y ¢ +296 y ¢ ²] -

– 16 x ¢ + 12 y ¢ + 66 x ¢ + 88 y ¢-50 = 0.

Слагаемые с x ¢ y ¢ должны сократиться. Кроме того, если d = 0, то одна из переменных в квадрате сокращается полностью:

25 y ¢ ² + 50 x ¢ + 100 y ¢ -50 = 0, Û y ¢ ² + 2 x ¢ + 4 y ¢ - 2 = 0. (*)

Выделяем полный квадрат:

(y ¢² + 4 y ¢ + 4) - 4 + 2 x ¢ - 2 = 0,

(y' + 2)² + 2(x' – 3) = 0.

Делаем замену координат:

 

Она равносильна переносу начала координат в точку O ¢(3,-2) _{О ¢ x ¢ y ¢}. Подчеркнем, что это координаты относительно второй системы координат О ¢ x ¢ y ¢.

y" ²=–2 x" –парабола.

Ее параметр p = 1, а ось параболы – О ¢ x".

 

Описание построения:

1. совершаем поворот координатных осей, зная что tg α = 3/4 ;

2. новое начало координат О ¢(3,–2) в системе координат Оx ¢ y ¢;

3. координатные оси О ¢ x" и О ¢ y".

4. для построения параболы любым способом находим дополнительную точку; например, подставим в уравнение (*) y ¢= 0, тогда x ¢ = 1. Т.е. А (1, 0) _{О ¢ x ¢ y ¢} - дополнительная точка (в системе Оx ¢ y ¢).