Определение. Коническим сечением (КС) называется кривая, по которой коническую поверхность пересекает плоскость, не проходящая через вершину этой поверхности.
В следующей главе мы изучим, что коническая поверхность выглядит именно так, как это изображено на рисунке, и убедимся, коническими
сечениями могут быть эллипс, гипербола и парабола. Причем, парабола получается тогда и только тогда, когда секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса.
Следующие две теоремы примем без доказательства.
Теорема 1. Для всякого КС g, кроме окружности существуют точка F, называемая фокусом, и прямая d, называемая директрисой, такие что отношение расстояний от произвольной точки M Îg до F и от M до d есть величина постоянная (т.е. независящая от выбора точки M Îg).
Эта величина e =½ MF ½/½ MM ¢½ называется эксцентриситетом конического сечения. Чем меньше e, тем ближе кривая расположена к фокусу. При 0<e<1 кривая замкнута и представляет собой эллипс. Чем ближе e к единице, тем более эллипс вытянут. При e=1 он, как бы, достигает бесконечной длины, и происходит его разрыв: эллипс превращается в параболу.
Чем больше e, тем ближе кривая расположена к директрисе. При 1<e<¥ получается гипербола.
Очевидно, что эксцентриситет и расстояние ½ FF ¢½ от фокуса до директрисы однозначно определяют КС. Действительно, если два КС имеют одинаковое расстояние от фокуса до директрисы, то мы можем движением совместить их фокусы и директрисы. А если у них еще одинаковое e , то и сами КС совместятся. Если же два КС имеют одинаковое e, но разное
расстояние от F до d, то они подобны. В частности, все параболы подобны друг другу.
Теорема 2. Эксцентриситет эллипса или гиперболы, заданных своими каноническими уравнениями (2) или (4), равен c/a, фокусы имеют координаты F 1(c, 0), F 2(– c, 0), а директрисы задаются уравнениями
d1: x =, d2: x =
(напомним, что c 2 = a 2 – b 2 для эллипса, и c 2 = a 2 + b 2 для гиперболы).
Из этой теоремы следует, что фокусы эллипса или гиперболы, которые мы определили в
§1 и в §2, совпадают с фокусами, определенными в этом параграфе. Кроме того, эллипс и гипербола имеют две пары фокус-директриса, и определить фигуру можно с помощью любой из пар.
Определение. Параболой называется КС, эксцентриситет которого равен единице.
Составим уравнение пара-болы в декартовой СК. Пусть p =½ FF ¢½ – расстояние от фокуса до директрисы. Начало координат поместим в середину отрезка FF ¢ и направим Ox . Тогда ось Oy определится однозначно. Фокус будет иметь координаты F (p/ 2, 0), а директриса – уравнение d: x = – p/ 2.
Пусть M (x, y) – произвольная точка параболы. Тогда
½ MF ½ =, ½ MM ¢½ = x +.
Согласно определению½ MF ½ 2 =½ MM ¢½ 2 Û 2+ y 2 =2 Û
y 2 = 2 px. (6)
Обратно, если координаты точки M (x, y) удовлетворяют (6), то
½ MF ½ 2 = 2+ y 2 = x 2 – px + +2 px = x 2 + px + = 2=½ MM ¢½ 2
Уравнение (6) называется каноническим уравнением параболы.
Геометрические свойства параболы.
1. Все точки параболы принадлежат полуплоскости x ³ 0.
2. Если M (x, y)Î g, т.е. пара (x, y) удовлетворяет (6), то этому уравнению удовлетворяет также и пара (x,– y), которая задает точку симметричную M относительно оси Ox. Поэтому Ox является осью симметрии параболы. Других симметрий у параболы нет.
3. Координатные оси пересекают параболу только в точке O, которая называется вершиной параболы.
Любая другая прямая, проходящая через вершину, пересекает параболу еще в одной точке.
Действительно, любую прямую l, проходящую через O, кроме оси Oy можно задать уравнением y = kx. Для того, чтобы найти ее общие точки с параболой g решаем систему уравнений
y 2 = 2 px, k 2 x 2 – 2 px = 0, x (k 2 x – 2 p) = 0,
y = kx. y = kx. y = kx.
При k ¹ 0 получаем два решения – (0, 0) и 2, а при k = 0 – только одно – (0, 0). Значение k = 0 соответствует оси Ox.
Аналогично, можно доказать, что любая прямая, параллельная оси параболы пересекает ее в одной точке, а любая другая прямая, проходящая через эту точку, кроме касательной, обязательно пересечет параболу еще в одной точке.
Отметим еще ряд интересных оптических свойств конических сечений.
Луч света, исходящий из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса, проходит через второй его фокус. Математически это означает, что " M Îg, отрезки MF 1 и MF 2 образуют с касательной к эллипсу в точке M равные углы. Луч света, исходящий из одного фокуса гиперболы, после отражения от гиперболы, кажется исходящим из второго фокуса.
 |
 |
Луч света, исходящий из фокуса параболы, после отражения от параболы, движется параллельно ее оси. И, наоборот, лучи, приходящие из бесконечности параллельно оси параболы, концентрируются в фокусе. На этом свойстве параболы и основано действие параболических рефлекторов, параболических антенн и радаров.
