Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения

Как построить на чертеже прямую линию, лежащую в заданной плоскости?Это построение основано на двух положениях, известных из геометрии. 1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,принадлежащие данной плоскости. 2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этойплоскости или параллельной ей. Положим, что пл. а (рис. 106) определена двумя пересекающимися прямымиАВ и СВ, а пл. -- двумя параллельными -- DE и FG. Согласно первому положе- Рис. 106 нию прямая, пересекающая прямые, определяющие плоскость, находится вданной плоскости. Отсюда вытекает, что если плоскость задана следами, то прямаяпринадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с нимиследах плоскости (рис. 107). Положим, что пл. (рис. 106) определяется точкой А и прямой ВС.Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельнопрямой ВС, принадлежит Положим, что пл. (рис. 106) определяется точкой А и прямой ВС.Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельнопрямой ВС, принадлежит пл..у. Отсюда прямая принадлежит плоскости, если онапараллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общуюточку (рис. 108). Примеры построений на рис. 107 и 108 не должны быть поняты так, что дляпостроения прямой в плоскости надо предварительно строить следы этойплоскости. Это не требуется. Например, на рис. 109 выполнено построение прямой AM в плоскости,заданной точкой А и прямой, проходящей через точку L. Положим, что прямая AMдолжна быть параллельна пл. 1. Построение начато с проведения проекцииА"М" перпендикулярно к линии связи А"А'. По точке М" найдена точка М', изатем проведена проекция А'М'. Прямая AM отвечает условию: она параллельнапл., и лежит в данной плоскости, так как проходит через две точки (А и М),заведомо принадлежащие этой плоскости. Как построить на чертеже точку, лежащую в заданной плоскости? Для тогочтобы сделать это, предварительно строят прямую, лежащую в заданнойплоскости, и на этой прямой берут точку. Рис. 109 Рис. 110 Например, требуется найти фронтальную проекцию точки D, если задана еегоризонтальная проекция D' и известно, что точка D должна лежать вплоскости, определяемой треугольником ABC (рис. 110). Сначала строят горизонтальную проекцию некоторой прямой так, чтобыточка D могла оказаться на этой прямой, а последняя была бы расположена вданной плоскости. Для этого проводят прямую через точки А' и ХУ и отмечаютточку М', в которой прямая A'D' пересекает отрезок В'С. Построив фронтальную.проекцию М" на В"С", получают прямую AM, расположенную в данной плоскости:эта прямая проходит через точки А и М, из которых первая заведомопринадлежит данной плоскости, а вторая в ней построена. Искомая фронтальная проекция D" точки D должна быть на фронтальнойпроекции прямой AM. Другой пример дан на рис. 111, В пл,, заданной параллельными прямымиАВ и CD, должна находиться точка К, для которой дана лишь горизонтальнаяпроекция -- точка К'. 45 Через точку К' проведена некоторая прямая, принимаемая в качествегоризонтальной проекции прямой в данной плоскости. По точкам и F строим Е"на Л*У и F" на C"D". Построенная прямая EF принадлежит пл., так какпроходит через точки и F, заведомо принадлежащие плоскости. Если взятьточку К" на E"F", то точка К окажется в пл.. К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, отнесемгоризонтали, фронтали¹) и линии наибольшего наклона к плоскостямпроекций. Линию наибольшего наклона к пл., будем называть линией скатаплоскости²). Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельныегоризонтальной плоскости проекций. Построим горизонталь плоскости, заданной треугольником ABC. Требуетсяпровести горизонталь через вершину А (рис. 112). Так как горизонталь плоскости есть прямая, параллельная пл. 1, тофронтальную проекцию этой прямой получим, проведя А"К" % А"А'. Дляпостроения горизонтальной проекции этой горизонтали строим.точку К' ипроводим прямую через точки А' и К'. Построенная прямая АК действительно является горизонталью даннойплоскости: эта прямая, лежит в плоскости, так как проходит через две точки,заведомо ей принадлежащие, и параллельна плоскости проекций,. Теперь рассмотрим построение горизонтали плоскости, заданной следами. Горизонтальный след плоскости есть одна из ее горизонталей ("нулевая"горизонталь). Поэтому построение какой-либо из горизонталей плоскостисводится Рис. 112 Рис. 113 к проведению в этой плоскости прямой, параллельной горизонтальномуследу плоскости (рис. 108, слева). Горизонтальная проекция горизонталипараллельна горизонтальному следу плоскости; фронтальная проекциягоризонтали параллельна оси проекций. Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельныеплоскости проекций п2. Пример построения фронтали в плоскости дан на рис. 113. Построениевыполнено аналогично построеншр горизонтали (см. рис. 112). Пусть фронталь проходит через точку А (рис. 113). Начинаем построение спроведения горизонтальной проекции фронтали -- прямой А'К', так какнаправление ') Наряду с горизонталями и фронталями плоскости можно рассматриватьтакже ее профильные прямые-- прямые, лежащие в данной плоскости ипараллельные пл. пэ. Для горизонталей, фронталей и профильных прямыхвстречается общее название -- линия уровня. Однако такое название отвечаетобычному представлению только о горизонтальности. ²) Для линии ската плоскости распространено название "линиянаибольшего ската", но понятие "скат" по отношению к плоскости не требуетдобавления "наибольший)". этой проекции известно: А'К'+А"А'. Затем строим фронтальную проекциюфрон-тали -- прямую А"К". Построенная прямая действительно является фронталью данной плоскости:эта прямая лежит в плоскости, так как проходит через две точки, заведомо ейпринадлежащие, и параллельна пл. 2. Построим теперь фронталь плоскости, заданной следами. Рассматривая рис.108, справа, на котором изображена пл. и прямая MB, устанавливаем, что этапрямая - фронталь плоскости. Действительно, она параллельна фронтальномуследу ("нулевой" фронтали) плоскости. Горизонтальная проекция фронталипараллельна оси х, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальномуследу плоскости. Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям 1, 2 и 3называются прямые, лежащие в ней и перпендикулярные или к горизонталямплоскости, или к ее фронталям, или к ее профильным прямым. В первом случаеопределяется наклон к пл. 1, во втором - к пл. 2, в третьем - к пл. 3.Для проведения линий наибольшего наклона плоскости можно, конечно,соответственно брать ее следы. Как было сказано выше, линия наибольшего наклона плоскости к пл. 1называется линией ската плоскости.: Согласно правилам проецирования прямого угла (см. 15) горизонтальнаяпроекция линии ската плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекциигоризонтали этой плоскости или к ее горизонтальному следу. Фронтальнаяпроекция линии ската строится после горизонтальной и может заниматьразличные положения в зависимости от задания плоскости. На рис. 114изображена линия ската пл. а: ВК%h^'о,. Tax как В'К такжеперпендикулярна к h^'о, то "BKB' есть линейный угол Рис. 114 двугранного, образованного плоскостями и.. Следовательно, линияската плоскости может служить для определения угла наклона этой плоскости кплоскости проекций nt. Аналогично, линия наибольшего наклона плоскости к пл. 2 служит дляопределения угла между этой плоскостью и пл. 2, а линия наибольшего наклонак· пл. 3 - для определения угла с пл. 3. На рис. 115 построены линии ската в заданных плоскостях. Угол пл. спл., выражен проекциями - фронтальной в виде угла В"К"В' и, горизонтальнойв виде отрезка К'В'. Определить величину этого угла можно, построивпрямоугольный треугольник по катетам, равным К'В' и В"В'. Очевидно, линия наибольшего наклона плоскости определяет положение этойплоскости. Например, если (рис, 115) заданна линия ската KB, то, проведяперпендикулярную к ней горизонтальную прямую AN или задавшись осью проекций и проведя h^'о % К'В', мы вполне определяем плоскость, длякоторой KB является линией ската. 47 Рассмотренные нами прямые особого положения в плоскости, главнымобразом горизонтали и фронтали, весьма часто применяются в различныхпостроениях и при решении задач. Это объясняется значительной простотойпостроения указанных прямых; их поэтому удобно применять в качествевспомогательных. На рис. 116 была задана горизонтальная проекция К' точки К. Требовалосьнайти фронтальную проекцию К", если точка К должна быть в плоскости,заданной двумя параллельными прямыми, проведенными из точек А и В. Сначала была проведена некоторая прямая линия, проходящая через точку Ки лежащая л заданной плоскости. В качестве такой прямой выбрана фронталь MN:ее горизонтальная проекция проведена через данную проекцию К'. Затемпостроены точки М" и N", определяющие фронтальную проекцию фронтали. Искомая проекция К" должна находиться на прямой M"N". На рис. 117 слева по данной фронтальной проекции A" точки А,принадлежащей пл. а, найдена ее горизонтальная проекция (А¹);построение произведено при помощи горизонтали ЕК. На рис. 117 справааналогичная задача решена при помощи' фронтали MN. Еще один пример построения недостающей проекции точки, принадлежащейнекоторой плоскости, дан на рис. 118. Слева показано задание: линия скатаплоскости (AB) и горизонтальная проекция точки (К'). {Справа на рис. 118показано построение: через точку К' проведена (перпендикулярная А'В')горизонтальная проекция горизонтали, на которой должна лежать точка К, поточке L" найдена фронтальная проекция этой горизонтали и на ней искомаяпроекция К". На рис. 119 дан пример построения второй проекции некоторой плоскойкривой, если известна одна проекция (горизонтальная) и пл. а, в которой этакривая расположена. Взяв на горизонтальной проекции кривой ряд точек,находим при помощи горизонталей точки для построения фронтальной проекциикривой. Стрелками показан ход построения фронтальной проекции A" погоризонтальной проекции А'.