Доказать, что если и связаны линейной зависимостью то абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице

Решение:

По определению коэффициента корреляции , где

(*)

Найдем математическое ожидание :

(**)

Подставив (**) в (*), после элементарных преобразований получим

.

Учитывая, что

, найдем дисперсию :

.

Отсюда .Следовательно, коэффициент корреляции

.

Если , то ; если , то .

Итак, , что и требовалось доказать.

№439 Выборка задана в виде распределения частот:

Найти распределение относительных частот.

Решение:

Найдем объем выборки; . Найдем

относительные частоты:

; ; .

Напишем искомое распределение относительных частот:

Контроль: .

№440 Выборка задана в виде распределения частот:

Найти распределение относительных частот.

Решение:

Найдем объем выборки: . Найдем

относительные частоты:

; ; ; .

Напишем искомое распределение относительных частот:

Контроль: .

№441 Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Решение:

Найдем объем выборки: .

Наименьшая варианта равна единице, поэтому при

.

Значение , а именно , наблюдалось 10 раз, следовательно,

при .

Значения , а именно: и , наблюдались 10+12=25 раз; следовательно, при .

Так как — наибольшая варианта, то при .

Напишем искомую эмпирическую функцию:

№442 Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

а)

б)

Решение:

а) Найдем объем выборки: .

Наименьшая варианта равна 2, поэтому при .

Значение , а именно , наблюдалось 1 раз, следовательно,

при .

Значения , а именно: и , наблюдались раз; следовательно, при .

Значения , а именно: , , , наблюдались раз; следовательно, при .

 

Так как — наибольшая варианта, то при .

Ответ:

 

б) Найдем объем выборки: .

Наименьшая варианта равна 4, поэтому при .

Значение , а именно , наблюдалось 5 раз, следовательно,

при .

Значения , а именно: и , наблюдались раз; следовательно, при .

Так как — наибольшая варианта, то при .

Ответ:

 

 

№443 Построить полигон частот по данному распределению выборки:

 

Решение.

Отложим на оси абсцисс варианты , а на оси ординат —соответствующие им частоты соединив точки отрезками прямых, получим искомый полигон частот.

 

 

№444 Построить полигон частот по данному распределению выборки:

а)

 

 

 

 

б)

 

 

 

№445 Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:

А).

Решение:

Отложим на оси абсцисс варианты а на оси

ординат—соответствующие относительные частоты _. Соединив точки

отрезками прямых, получим искомый полигон относительных частот

 

Б).

 

В).

 

 

 

 

 

 

 

№446 Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объема n=100:

 

 

Решение.

Построим на оси абсцисс заданные интервалы длины

. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси

абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим

плотностям частоты . Например, над интервалом

построим отрезок, параллельный оси абсцисс, на расстоянии

; аналогично строят остальные отрезки.

№447 Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№448 Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:

 

Решение. Найдем относительные частоты:

.

 

Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длина

интервала h=2:

.

Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты. Например, над интервалом (О, 2) проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от нее на расстоянии, равном 0,1; аналогично строят остальные отрезки.

 

 

№449 Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:

а)

 

Решение. Найдем относительные частоты:

Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длина

интервала h=5:

Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты.

 

 

 

 

 

Решение.

Найдем относительные частоты:

Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длина

интервала h=3:

Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты.

 

 

 

№450 Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:

 

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя

= ( .

 

№451 Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=60:

Х_i 1 3 6 26

n_i 8 40 10 2

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

 

Решение.

Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя

= ( = .

 

№452 Задано распределение первоначальных вариант выборки объема п:

Доказать, что

где условные варианты

 

Решение. Так как ; суммируя

левую и правую части равенства по всем значениям i получим

 

= или = =

Отсюда

Следовательно,

или

, что и требовалось доказать.

 

№453 Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n=10:

Решение. Первоначальные варианты — большие числа, поэтому

перейдем к условным вариантам. . В итоге получим

распределение условных вариант:

 

Найдем искомую выборочную среднюю:

 

Саградов Арсен

№454 Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n=20:

xi
ni

Решение:

Первоначальные варианты – большие числа, поэтому перейдем к условным вариантам u_i=x_i – 2620. В итоге получим распределение условных вариант

ui	-60	-20
ni

Найдем искомую выборочную среднюю

Ответ: 2621

 

 

№455. По выборке объема n = 41 найдена смещенная оценка = 3 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

Решение.

Искомая несмещенная оценка равна исправленной

дисперсии:

= =

 

№456 По выборке объема n=51 найдена смещенная оценка D_B=5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

Решение

Искомая несмещенная оценка равна исправленной дисперсии

Ответ 5,1

 

№457. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную

и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Решение:

а) Найдем выборочную среднюю:

= 92 +(0+2 + 11 + 13 + 14)/5=92+8 =100.

б) Найдем выборочную дисперсию:

= =[ + + ]/5+

+ + ]/5 = 34.

Найдем исправленную дисперсию:

 

№458 В итоге 4 измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти: А) Выборочную среднюю результатов измерений; Б) Выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Решение

А) Найдем выборочную среднюю

Б) Найдем выборочную дисперсию

Найдем исправленную дисперсию

 

Ответ: 10; 2,5;

 

№459 Ниже приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов

Рост	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182
Число студентов

Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов

Решение

Найдем середины интервалов и примем их в качества вариант

Найдем выборочную среднюю

 

Найдем выборочную дисперсию

Перейдем к условным вариантам u_i=x_i – 168. В итоге получим распределение условных вариант

ui	-12	-8	-4
ni

Ответ: 166; 33,44

 

 

№460. Найти выборочную дисперсию по данному распределению

выборки объема n=10:

186 192 194

2 5 3

Решение.

Варианты—сравнительно большие числа, поэтому

перейдем к условным вариантам (мы вычли из вариант

число С = 191, близкое к выборочной средней). В итоге получим

распределение условных вариант:

—5 1 3

2 5 3

Найдем искомую выборочную дисперсию:

 

 

№461 Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=100

xi
ni

Решение

Перейдем к условным вариантам u_i=x_i – 360. В итоге получим распределение условных вариант

ui	-20
ni

Найдем искомую выборочную дисперсию

Ответ: 167,29

 

№462 Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=100

xi
ni

Решение

Перейдем к условным вариантам u_i=x_i – 2844. В итоге получим распределение условных вариант

ui	-342	-40
ni

Найдем искомую выборочную дисперсию

Ответ: 12603

№463. Найти выборочную дисперсию по данному распределению

выборки объема n=10:

0,01 0,04 0,08

5 3 2

Решение.

Для того чтобы избежать действий с дробями,

перейдем к условным вариантам =100 . В итоге получим распределение

1 4 8

5 3 2

Найдем выборочную дисперсию условных вариант:

Подставив в эту формулу условные варианты и их частоты, получим

Найдем искомую выборочную дисперсию первоначальных вариант:

№464 Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=50

xi	0,1	0,5	0,6	0,8
ni

Решение

Перейдем к условным вариантам u_i=10x_i. В итоге получим распределение условных вариант

 

ui
ni

Найдем искомую выборочную дисперсию

Найдем искомую выборочную дисперсию первоначальных вариант

Ответ: 0,0344

 

№465 Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=50

xi	18,4	18,9	19,3	19,6
ni

Решение

Перейдем к условным вариантам u_i=10x_i -195. В итоге получим распределение условных вариант

 

ui	-11	-6	-2
ni

Найдем искомую выборочную дисперсию

Найдем искомую выборочную дисперсию первоначальных вариант

Ответ: 0,1336

 

№466. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n =10:

xi
ni

 

Решение.

Перейдем к условным вариантам u_i = x_i —104.

В итоге получим распределение

ui	-2
ni

Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант:

Подставив в эту формулу условные варианты, их частоты и объем выборки, получим =6,93.

Все первоначальные варианты были уменьшены на одно и то же постоянное число С=104, поэтому дисперсия не изменилась, т. е. искомая дисперсия равна дисперсии условных вариант: =6,93.

 

№467. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 100:

xi
ni

 

Указание. Перейти к условным вариантам u_i=x_i —1275.

Решение.

Перейдем к условным вариантам u_i=x_i —1275.

В итоге получим распределение

ui	-25
ni

Воспользуемся формулой