Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если из- известно, что , . 4 страница

Если 2<x≤4, то F(x)=0,5. Действительно, X может принимать значение 2 с вероятностью 0,5.

Если 4<x≤7, то F(x)=0,7. Действительно, X может принять значение 2 с вероятностью 0,5 и значение 4 с вероятностью 0,2; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять (по теореме о сложении вероятностей несовместных событий) с вероятностью0,5+0,2=0,7.

Если x>7, то F(x)=1. Действительно, событие x≤7 достоверно и вероятность его равна единице.

Итак, искомая функция распределения имеет вид

 

№261 Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X
p	0,2	0,1	0,4	0,3

 

Найти функцию распределения F(x) и начертить ее график.

Решение.

Если x ≤ 3, то F(x)=0. Действительно, значений меньших 3 величина X не принимает. Следовательно, при x ≤ 3 функция F(x)=P(X<x)=0..

Если 3<x≤4, то F(x)=0,2. Действительно, X может принимать значение 3 с вероятностью 0,2.

Если 4<x≤7, то F(x)=0,3. Действительно, X может принять значение 3 с вероятностью 0,2 и значение 4 с вероятностью 0,1; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять (по теореме о сложении вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,2+0,1=0,3.

Если 7<x≤10, то F(x)=0,7. Действительно, X может принять значение 3 с вероятностью 0,2, значение 4 с вероятностью 0,1 и значение 7 с вероятностью 0,4; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять (по теореме о сложении вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,2+0,1+0,4=0,7.

Если , то F(x)=1. Действительно, событие x ≤ 10 достоверно и вероятность его равна единице.

 

№262 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X

Найти плотность распределения f(x).

Решение.

Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

При x=0 производная F’(x) не существует.

 

№263 Дана функция распределения непрерывной случайной величины X

Найти плотность распределения f(x).

Решение.

Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

При x=0 производная F’(x) не существует.

 

№264 Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение

Воспользуемся формулой По условию, a=π/6, b=π/4, .

Следовательно, искомая вероятность

Ответ: .

 

№265 Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (1,2).

Решение

Воспользуемся формулой:

По условию a=1, b=2 и . Следовательно, искомая вероятность

Ответ: .

 

№266 Плотность распределения непрерывной случайной величины Х в интервале (-π/2, π/2) равна f(x)=(2/π)cos²x; вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях Х примет ровно два раза значение, заключенное в интервале (0, π/4).

Решение.

Воспользуемся формулой

По условию а=0, b=π/4, f(x)=(2/π)cos²x. Следовательно, искомая вероятность

Найдем вероятность того, что в трех независимых испытаниях Х примет ровно два раза значение, заключенное в интервале (0, π/4). Для этого воспользуемся формулой Бернулли:

По условию, n=3, k=2, , . Тогда

.

Ответ: .

 

Целовальникова Ольга

№267-№283

Черный Андрей

№284-300

 

Абредж Мурат

 

№300 Случайная величина X в интервале (0, ) задана плотностью распределения f(x)=cosx, вне этого интервала f(x)=0. Найти дисперсию функции Y= (x)= , не находя предварительно плотности распределения Y.

Решение:

Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

D(X)= или D(X)= .

В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a,b),то

D(X)= или D(X)= .

Среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины: (X)=

Если Y= – Функция случайного аргумента Х, причем возможные значения Х принадлежат всей ос Ох, то

D( (x))= f(x)dx или D(.

В частности если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a,b), то

D( (x))= f(x)dx или D(.

Используем формулу: D(.

Подставив

M( *Cosxdx=

 

= =

=

Получим интеграл:

 

= sinx sinxdx = cosxdx = +

Окончательно получим искомую дисперсию:

D( +24 – = = = 20 - 2

 

№ 301 Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)= /n! При x ≥ 0; f(x)=0 при х<0. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию Х.

Решение.

а) Найдем математическое ожидание:

М(Х) =

Воспользуемся так называемой гамма-функцией, которая определяется

равенством

Г(n)= dx.

Как видим, аргумент (целое число п), стоящий под знаком гамма-функции, на единицу больше показателя степени буквы х, стоящейпод знаком интеграла. Следовательно,

 

Подставив (**) в (*), получим

M(x)=

Воспользуемся следующим свойством гамма-функции:

Г(n)=(n - 1)!

Как видим, гамма-функция от целого аргумента равна факториалу

от аргумента, уменьшенного на единицу. Следовательно,

Подставив (****) в (***), получим

M(x)= =n+1

б) Найдем дисперсию. Учитывая, что

M(x)=n+1, ,

Получим

D(x)=

D(X)=n+1

 

№ 303 Доказать, что для любой непрерывной случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю.

Решение.

По определению центрального момента первого порядка,

=

Учитывая, что

f(x) dx = M(X) и

получим

.

 

№304 Доказать, что обычный момент второго порядка

Имеет наименьшее значение, если с=M(X).

Решение. Преобразуем :

=

Принимая во внимание равенства

получим

Отсюда видно, что имеет наименьшее значение при c=M(X), что и требовалось доказать.

Заметим, что из (*) следует, что - , т.е. центральный момент второго порядка меньше любого обычного момента второго порядка, если с M(X).

 

№305 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 0,5х в интервале (О, 2); вне этого интервала f{x)=0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Решение.

По формуле

Найдем начальные моменты:

; ;

 

.

Найдем центральные моменты. Центральный момент первого порядка любой случайной величины

Воспользуемся формулами, выражающими центральные моменты через начальные:

; ;

Подставив в эти формулы ранее найденные начальные моменты через начальные моменты, получим: = , = , .

№306. Случайная величина X задана плотностью распределения f{x) = 2x в интервале (0,1); вне этого интервала f(x)=0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Решение:

По формуле найдем начальные моменты:

Найдем центральные моменты. Центральный момент первого порядка любой случайной величины .

Воспользуемся формулами, выражающими центральные моменты через начальные, и подставим в них ранее найденные моменты:

;

 

№307 Плотность равномерного распределения сохраняет в интервале (а, b) постоянное значение, равное С; вне этого интервала f(x)=0. Найти значение постоянного параметра С.

Решение:

Решение задачи исходит из определения равномерного распределения. Очевидно, что .

 

№308 Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение.

Ошибку округлення отсчета можно рассматривать

как случайную величину X, которая распределена равномерно с

интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность

равномерного распределения f(x) = l/(b —а), где (b — а) —длина интервала,

в котором заключены возможные значения X; вне этого

интервала / (х) = 0. В рассматриваемой задаче длина интервала,

в котором заключены возможные значения X, равна 0,1, поэтому

f(x) = 1/0,1 =10. Легко сообразить, что ошибка отсчета превысит

0,02, если она будет заключена в интервале (0,02, 0,08).

 

По формуле P(a < X < b) = получим

P(0.02< X < 0.08) =

 

№309 Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

Решение:

Ошибку округления отсчета будем рассматривать как случайную величину X, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения f(x) = 1/(b —а), где (b — а) —длина интервала, в котором заключены возможные значения X; вне этого интервала f(x) =0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения X, равна 0,2, поэтому f(x) = 1/0,2 = 5. Будем пользоваться формулой .

очевидно, что ошибка отсчета будет меньше 0,04, если она будет заключена в интервале (0, 0,04) или (0,16, 0,2). По теореме о сложении вероятностей искомая вероятность равна:

ошибка отсчета превысит 0,05, если она будет заключена в интервале (0,05, 0,15)

.

 

№310 Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

Решение:

Плотность равномерного распределения f(x) = 1/(b —а), где (b — а) – это интервал движения автобуса. Таким образом, f(x)=1/5=0,2. Очевидно, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут, если до прибытия автобуса останется от 2 до 5 минут. Следовательно, а=2, b=6.

Воспользуемся формулой . Подставив полученные значения, получим:

.

 

№311 Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.

Решение:

Плотность равномерного распределения f(x) = 1/(b —а), где (b — а) – это интервал движения стрелки. Так как (b — а)=1, то f(x)=1.

Очевидно, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с, если этот момент будет принадлежать интервалу (0, 1/3) или (2/3, 1). Тогда по теореме о сложении вероятностей искомая вероятность равна:

.

 

№312. Закон равномерного распределения задан плотностью вероятности f(x) = 1/(b — а) в интервале (а, b); вне этого интервала f(x) = 0. Найти функцию распределения F(x).

Решение:

Используем формулу

Если , то f(x)=0, то есть .

Если , то .

Если x>b, то .

Итак, искомая функция распределения:

 

Березова Виктория

 

№313 Найти математическое ожидание случайной величины X, равномерно распределенной в интервале (a,b).

Решение

График плотности равномерного распределения симметричен относительно прямой x=(a+b)/2, поэтому M(X)=(a+b)/2.

Итак, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной в интервале (a,b), равно полусумме концов этого интервала. Разумеется, этот же результат можно получить по формуле

M(X)=

В частности, математическое ожидание случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0,1), равно

M(R)=(0+1)/2= .

 

№314 Найти математическое ожидание случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2,8).

Решение

График плотности равномерного распределения симметричен относительно прямой x=(a+b)/2, поэтому M(X)=(a+b)/2. Так как a=2, b=8 следовательно:

M(X)=(2+8)/2=5.

Итак, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной в интервале (2,8), равно полусумме концов этого интервала.

Ответ: математическое ожидание равно 5.

№315 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (a,b).

Решение

Используем формулу

D(X)= .

Подставив f(x)=1/(b-a), M(X)=(a+b)/2 и выполнив элементарные выкладки, получим искомую дисперсию

D(X)= /12.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии:

σ(X)=(b-a)/(2 ).

В частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0,1), соответственно равны: D(R)=1/12, σ(R)=1/(2 ).

 

№316 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2,8).

Решение

Используем формулу

D(X)= ,

где f(x)=1/(b-a), M(X)=(a+b)/2. Подставим известные нам значения и получим:

f(x)=1/(8-2)= , M(X)= (2+8)/2=5. Далее будем считать интеграл:

D(X)=

Разумеется, этот же результат можно получить по формуле:

D(X)= .

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии:

σ(X)= .

Ответ: дисперсия равна 3; квадратическое ожидание .

 

№317 Равномерно распределенная случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=1/(2l) в интервале (a-l,a+l); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание и дисперсию X.

Решение

Воспользуемся формулой M(X)=(a+b)/2. Подставим:

M(X)=(a-l+a+l)/2=a следовательно «кривая» распределения симметрична относительно прямой x=a.

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой D(X)= . После подстановки получим:

D(X)=

Ответ: мат.ожидание равно а; дисперсия равна

 

№318 Диаметр круга x измерен приближенно, причем a x b. Рассматривая диаметр как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (a,b), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

Решение

1.Найдем математическое ожидание площади круга – случайной величины Y=φ(K)=π /4 -по формуле

M[φ(X)]=

Поставив φ(x)=π /4,f(x)=1/(b-a) и выполнив интегрирование, получим

M[π /4]=π )/12.

2.Найдём дисперсию площади круга по формуле

D [φ(X)]= - .