Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины , если из- известно, что , . 10 страница

№394 Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)= в интервале (0; π); вне этого интервала f(x) =0. Найти дисперсию функции Y= , используя плотность распределения g(Y).

Решение:

Используем формулу

,

Где c и d – концы интервала, в котором заключены возможные значения Y.

Подставляя

(см. задачу №392)

И учитывая, что с=0, d=π² (так как и , получим

(*)

 

Интегрируя сначала с помощью подстановки y=t² , а потом четырежды по частям, имеем

(**)

Подставив (**) в (*), окончательно получим

Ответ:

 

Митько Дмитрий

№395 Случайная величина Х задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти дисперсию функции .

Решение:

Используем формулу , где c и d – концы интервала, в котором заключены возможные значения Y. Подставляя , и учитывая, что и , получим

№396 Ребро куба измерено приближенно, причем . Рассматривая ребро куба как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале , найти: а) математическое ожидание объёма куба; б) дисперсию объема куба.

Решение:

Плотность распределения случайной величины равна .

а) Найдем математическое ожидание:

б) Найдем дисперсию: ;

№397 Задана функция распределения случайной величины Х. Найти функцию распределения случайной величины .

Решение:

По определению функции распределения, . Поскольку функция – возрастающая, то неравенство выполняется, если имеет место неравенство , поэтому

,

Из уравнения выразим : .

Получим

 

№398 Задана функция распределения случайной величины Х. Найти функцию распределения случайной величины .

Решение:

Поскольку функция – убывающая, то неравенство выполняется, если имеет место неравенство , поэтому

События и противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице. , следовательно, .

Из уравнения выразим : .

Подставив , окончательно получим: .

 

 

№399 Задана функция распределения случайной величины Х. Найти функцию распределения случайной величины , если а) ; б) ; в) .

Решение

а) . См задачу №397.

б) . См задачу №398.

в) Если , тогда ответ аналогичен ответу в задаче 398:

Если , тогда ответ аналогичен ответу в задаче 397:

№400 Дискретные независимые случайные величины и заданы распределениями:

Найти распределение величины .

Решение:

Для того, чтобы составить распределение величины , надо найти все возможные значения и их вероятности.

Возможные значения есть суммы каждого возможного значения с каждым возможным значением : ; ; ; .

Найдем вероятности этих возможных значений. Для того, чтобы , достаточно чтобы Х=1 и Y=2. Так как Х и Y независимы, то вероятность этого события находим по правилу умножения:

Напишем искомое распределение:

Ответ:

Z 3 5 7

P 0.18 0.54 0.28

№401 Дискретные случайные величины Х и Y заданы распределениями:

а) Х 10 12 16 Y 1 2

Р 0,4 0,1 0,5 P 0.2 0.8

б) Х 4 10 Y 1 7

Р 0,7 0,3 P 0.8 0.2

Найти распределение случайной величины .

Решение:

а) ; ; ; ; ;

б) ; ; ; .

Ответ:

а) Z 11 12 13 14 17 18

P 0.08 0.32 0.02 0.08 0.1 0.4

б) Z 5 11 17

P 0.56 0.38 0.06

№402 Независимые случайные величины X и Y заданы плотностями распределений:

,

Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины .

Решение:

Так как возможные значения аргументов неотрицательны, то применима формула: .

Следовательно,

Выполнив элементарные преобразования, получим

Здесь , так как и возможные значения Х и Y неотрицательны.

Итак, в интервале , вне этого интервала

№403 Независимые случайные величины X и Y заданы плотностями распределений:

,

Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины .

Решение:

Так как возможные значения аргументов неотрицательны, то применима формула: .

Следовательно,

Выполнив элементарные преобразования, получим

№404 Независимые нормально распределенные случайные величины Х и Y заданы плотностями распределений:

Доказать, что композиция этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины , также есть нормальный закон.

Решение:

Используем формулу .

Тогда

Выполнив элементарные выкладки, получим

Учитывая, что интеграл Пуассона, стоящий в правой части равенства, равен , окончательно имеем .

В рассматриваемой задаче легко убедиться, что и .

 

Олейников Илья

№407 Заданны плотности распределений равномерно распределенных независимых случайных величин X и Y: f1(x)=1/2 в интервале (1,3), вне этого интервала f1(x)=0, f2(y)=1/4 в интервале (1,6), вне этого интервала f2(y)=0. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z=X+Y. Построить график плотности распределения g(z).

 

 

Решение.

По условию, возможные значения X определяются неравенством 1<x<3, возможные значения Y неравенством 1<y<6. Отсюда следует, что возможные случайные точки (X;Y) расположены в прямоугольнике OABC

y

6 A B

 

0 3 C x

 

По определению, функция распределения G(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z).

Неравенству x+y<z удовлетворяют те точки (X,Y) плоскости xOy, которые лежат ниже прямой x+y=z; если же брать только возможные значения x и y, то неравенство x+y<z выполняется только для точек, лежащих в прямоугольнике OABC ниже прямой x+y=z.

С другой стороны, так как величины X и Y независимы, то

G(z)=∫ ∫ f1(x)·f2(x)dxdy=1/8∫ ∫ dxdy=1/8·s,

(S) (S)

где s- величина той части площади прямоугольника OABC, которая лежит ниже прямой x+y=z. Очевидно, величина площади S зависит от значения z.

 

Искомая функция распределения:

G(z)={0,при z<3;((z-3)^2)/16,при 3<z<5;(z/4)-1,при 5<z<7;1-((9-z)^2)/16,при 7<z<9;1,при z>9}

 

Плотность распределения:

g(z)={0, при z<3;(z-3)/8, при 3<z<5;1/4, при 5<z<7;(9-z)/8, при 7<z<9;0,z>9}

 

№408 Задано распределение вероятностей дискретной случайной величины

Y	X
	0,17	0,13	0,25
	0,10	0,30	0,05

 

Найти законы распределения составляющих X и Y.

Решение.

Сложив вероятности «по столбцам», получим вероятности возможных значений X:

p(3) =0,27, p(10)=0,43, p(12)=0,30.

 

 

Напишем закон распределения составляющей X:

X 3 10 12

p 0,27 0,43 0,30

Сложив вероятности «по строкам», аналогично найдем распределения составляющей Y:

Y 4 5

p 0,55 0,45

 

№409 Задано распределение вероятностей дискретной случайной величины

 

Y	X
2,3	0,05	0,12	0,08	0,04
2,7	0,09	0,30	0,11	0,21

 

Найти законы распределения составляющих

Решение.

Сложив вероятности «по столбцам», получим вероятности возможных значений X:

p(20)=0,14, p(30)=0,42, p(41)=0,19, p(50)=0,25.

Напишем закон распределения составляющей X:

X 20 30 41 50

p 0,14 0,42 0,19 0,25

Сложив вероятности «по строкам», аналогично найдем распределения составляющей Y:

Y 2,3 2,7

p 0,29 0,71

 

№410 Задана функция распределения двумерной случайной величины

F(x,y)={sin x ·sin y, при 0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2; 0, при x<0 или y<0.

Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми x=0, x=π/4, y=π/6, y=π/3.

Решение.

Используем формулу P(x1<X<x2, y1<Y<y2)=[F(x2,y2)-F(x1,y2)]- [F(x2,y1)-F(x1,y1)].

Положив x1=0, x2=π/4, y1= π/6, y2= π/3, получим

P=[sin(π/4)sin(π/3)-sin(0)sin(π/3)]- [sin(π/4)sin(π/6)-sin(0)sin(π/6)]=(√6-√2)/4=0,26.

 

№411 Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми x=1, x=2, y=3, y=5, если известна функция распределения

F(x,y)={1 -2^ ¯x -2^¯y +2^¯x¯y), при x≥0, y≥0; 0, при x<0 или y<0.

Решение.

Используем формулу P(x1<X<x2, y1<Y<y2)=[F(x2,y2)-F(x1,y2)]- [F(x2,y1)-F(x1,y1)].

Положив x1=1, x2=2, y1= 3, y2= 5, получим

P=[(1 -2^ ¯2 -2^¯5 +2^¯2¯5)- (1 -2^ ¯1 -2^¯5 +2^¯1¯5)]-[(1 -2^ ¯2 -2^¯3 +2^¯2¯3)-(1 -2^ ¯1 -2^¯3 +2^¯1¯3)]= [93/128 – 31/64]-[21/32 – 7/16]=(31-28)/128=3/128.

 

№412 Задана функция распределения двумерной случайной величины

F(x,y)={1 -3^ ¯x -3^¯y +3^¯x¯y), при x≥0, y≥0; 0, при x<0 или y<0.

Найти двумерную плотность вероятности системы.

Решение.

Используем формулу f(x,y)=d²F/dx·dy. Найдем частные производные

dF/dx=ln3·(3^ ¯x -3^¯x¯y), d²F/dx·dy=ln²3·3^¯x¯y.

Итак, искомая двумерная плотность вероятности

f(x,y)={ ln²3·3^¯x¯y, при x≥0, y≥0; 0, при x<0 или y<0.

 

№413 Задана функция распределения двумерной случайной величины

F(x,y)={(1-e¯4x)(1-e¯2y), при x>0, y>0; 0, при x<0, y<0.

Найти двумерную плотность вероятности системы.

Решение.

Используем формулу f(x,y)=d²F/dx·dy. Найдем частные производные

dF/dx=4e¯4x ·(1-e¯2y), d²F/dx·dy=8e¯4x¯2y.

Итак, искомая двумерная плотность вероятности

f(x,y)={ 8e¯4x¯2y, при x>0, y>0; 0, при x<0, y<0.

 

№414 Задана двумерная плотность вероятности системы случайных величин (X,Y)

f(x,y)=20/(p^2(16+x^2)(25+y^2))

Найти функцию распределения системы.

 

Решение.

 

№415 Задана двумерная плотность вероятности системы случайных величин: f(x,y)=(1/2)*sin(x+y) в квадрате 0<=x<=p/2, 0<=y<=p/2; вне квадрата f(x,y)=0.

Найти функцию распределения системы.

Решение.

π/2 π/2

∫ ∫ sin(x+y)dxdy=1/2(sin(x)+sin(y)-sin(x+y))

0 0

 

№416 В круге x²+y²≤R² двумерная плотность вероятности f(x,y)=C(R-√(x²+y²)); вне круга f(x,y)=0. Найти: а) Постоянную C; б) вероятность попадания случайной точки (X,Y) в круг радиусом r=1 с центром в начале координат, если R=2.

Решение.

а) Используем второе свойство двумерной плотности вероятности:

∫ ∫ C(R-√(x²+y²))dxdy=1

(D)

Отсюда, перейдя к полярным координатам, получим

0 R

С=1/ ∫ dφ ∫(R-p)p dp=3/(π³)

2π 0

б)По условию, R=2; следовательно, C=3/(8π) и f(x,y)=3/(8π)·(2-√(x²+y²)).

Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в круг радиуса r=1 с центром в начале координат (область D1)

P[(X,Y)cD1]=3/(8π)∫ ∫(2-√(x²+y²))dxdy

(D1)

Перейдя к полярным координатам, окончательно получим искомую вероятность

 

 

2π 1

P=3/(8π) ∫ dφ ∫ (2-p)p dp=1/2.

0 0

 

№418 Задана двумерная плотность вероятности f(x,y)=C/[(9+x^2)(16+y^2)] системы (X,Y) двух случайных величин. Найти постоянную С.

Решение.

 

Пискунов Игорь

№419 Задана двумерная плотность вероятности:

системы (X,Y) двух случайных величин. Найти постоянную C.

Решение:

Используем свойство двумерной вероятности

Вычислим интеграл:

переход к полярным координатам = Найдем

Ответ:

 

№420 В первом квадранте задана функция распределения системы двух случайных величин:

Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) вероятность попадания

случайной точки (X,Y) в треугольник с вершинами A(1;3), B(3;3), C(2;8).

Решение:

а) Используем формулу: Найдем частные производные:

Итак, искомая двумерная плотность вероятности равна:

б) Для нахождения вероятности попадания случайной точки (X,Y) в треугольник с вершинами A(1;3), B(3;3), C(2;8), используем формулу:

Сначала рассмотрим область D, изображенную на рисунке ниже. Как видно из рисунка, область D представляет собой треугольник ABC. Рассмотрим треугольник ABC. Будем вычислять интеграл при условии, что область D заключена между прямыми CB и СA, если 3 y 8.

AC:

CB:

Тогда искомая вероятность выражается через интеграл:

Таким образом, искомая вероятность

Ответ:

№421 Задана дискретная двумерная случайная величина (X,Y):

Y	X
	0,15	0,30	0,35
	0,05	0,12	0,03