Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон
распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение 
=0,4;
в) условный закон распределения Y при условии, что 
Решение:
а) Сложив вероятности «по столбцам», напишем закон распределения X:
X 2 5 8
p 0,2 0,42 0,38
Сложив вероятности «по строкам», найдем закон распределения y:
y 0,4 0,8
p 0,80 0,20
б) Найдем условные вероятности возможных значений X при условии, что составляющая Y приняла значение 
Напишем искомый условный закон распределения X:
X 2 5 8
Контроль: 
в) Аналогично найдем условный закон распределения Y:
Y 0,4 0,8
Контроль: 
.
№422 Задана дискретная двумерная случайная величина (X;Y):
| Y | X | |
| 0,25 0,15 0,32 | 0,10 0,05 0,13 |
Найти: а) условный закон распределения X при условии, что Y=10; б) условный закон распределения Y при условии, что X=6.
Решение:
а) Найдем условные вероятности возможных X при условии, что составляющая Y приняла значение 10:
Напишем искомый условный закон распределения X:
X 3 6
Контроль: 
б) Аналогично найдем условный закон распределения Y:
Y 10 14 18
Контроль: 
№423 Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной
величины (X,Y):
Найти: а) плотности распределения составляющих; б) условные плотности
распределения составляющих.
Решение: а) Найдем плотность распределения составляющей X:
Вынесем за знак интеграла множитель 
, не зависящий от переменной интегрирования y, и дополним оставшийся показатель степени до полного квадрата; тогда
Учитывая, что интеграл Пуассона 
, окончательно получим плотность распределения составляющей X:
Аналогично найдем плотность распределения составляющей Y:
б) Найдем условные плотности распределения составляющих. Выполнив элементарные выкладки, получим:
№424 Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):
Найти: а) постоянный множитель C; б) плотности распределения составляющих; в)
условные плотности распределения составляющих.
Решение:
а) Воспользуемся свойством двумерной плотности распределения: 
Вычислим интеграл:
Учитывая, что интеграл Пуассона 
, окончательно получи
Тогда постоянная 
б) Найдем плотность распределения составляющей X:
Вынесем за знак интеграла множитель 
, не зависящий от переменной интегрирования y, и дополним оставшийся показатель степени до полного квадрата, тогда:
Учитывая, что интеграл Пуассона 
, окончательно получим плотность распределения составляющей X:
Найдем плотность распределения составляющей Y:
Вынесем за знак интеграла множитель 
, не зависящий от переменной интегрирования x, и дополним оставшийся показатель степени до полного квадрата, тогда:
Учитывая, что интеграл Пуассона 
, окончательно получим плотность распределения составляющей Y:
в) Найдем условные плотности распределения составляющих выполнив элементарные выкладкт, получим:
Таким образом, 
и 
№425 Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины
в квадрате 0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2; вне квадрата 
. Доказать, что
составляющие X и Y независимы.
Решение:
Найдем плотность распределения составляющей X:
Вынесем за знак интеграла множитель 
, не зависящий от переменной интегрирования y, тогда:
Найдем плотность распределения составляющей Y:
Вынесем за знак интеграла множитель 
, не зависящий от переменной интегрирования x, тогда:
Найдем условные плотности распределения составляющих:
Получаем, 
и 
. Другими словами условные плотности распределения случайных величин X и Y равны их безусловным плотностям, а это значит, что эти величины независимы.
№426 Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно внутри
прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами 2а и 2b,
параллельными координатным осям. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы;
б) плотности распределения составляющих.
Решение:
а) Поскольку распределение равномерное, то 
. Воспользуемся свойством плотности вероятности:
Для нашей области D, которая представляет собой прямоугольник ABCD, получим:
Вычислим интеграл: 
Тогда 
Двумерная плотность вероятности имеет вид: 
б) Найдем плотность составляющей X:
т.е 
Найдем плотность составляющей Y:
т.е. 
№427 Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно внутри
прямоугольной трапеции с вершинами O(0;0), A(0;4), B(3;4), С(6;0). Найти: а) двумерную
плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.
Решение:
а) Поскольку распределение равномерное, то 
. Воспользуемся свойством
плотности вероятности:
Для нашей области D, которая представляет собой трапецию OABC, получим:
Область D разобьем на две области D1 - прямоугольник OABN и D2 - прямоугольный
треугольник NBC. Рассмотрим эти области.
Область D1 – прямоугольник OABN сверху ограничен прямой AB, уравнение которой
y=4, а снизу - прямой ON, уравнение которой y=0, при этом 0≤x≤3.
Область D2 – прямоугольный треугольник NBC сверху ограничен прямой BC, а снизу -
прямой NC, уравнение которой y=0, при этом 3≤x≤6.
Найдем уравнение прямой NC: 
Вычислим интеграл:
Тогда 
Двумерная плотность вероятности имеет вид: 
б) Найдем плотность составляющей X:
Если x<0, то 
, тогда 
Если 0<x<3, то 
, тогда 
Если 3<x<6, то , тогда 
Если x>6, то , тогда
Таким образом, плотность вероятности составляющей X:
Найдем плотность составляющей Y:
Если y<0, y>4, то , тогда 
Если 0<y<4, то 
, область ограничена сверху прямой BC, уравнение которой 
, а снизу прямой 
, тогда:
№428 Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами O(0;0), A(0;8), B(8;0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности распределения составляющих.
Решение:
а) Поскольку случайная величина распределена равномерно, то обозначим плотность совместного распределения через C, т.е. 
Область интегрирования D – есть прямоугольный треугольник OAB.
Воспользуемся свойством двумерной плотности распределения: 
Для нашего случая получаем:
Рассмотрим треугольник OAB=D. Сверху треугольник ограничен прямой AB, а снизу – прямой OB, уравнение которой y=0, при этом 
Найдем уравнение прямой AB: 
Вычислим интеграл:
Тогда совместная плотность вероятности 
б) Найдем плотность распределения составляющей X:
Если 0<x<8, то 
Таким образом, плотность распределения вид: 
Найдем плотность распределения составляющей Y:
Если 0<y<8, то 
Таким образом, плотность распределения вид: 
Найдем условные плотности распределения составляющих. Выполнив элементарные выкладки, получим:
№429 Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри трапеции с вершинами A(-6;0), B(-3;4), C(3;4), D(6;0),. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.
Решение:
Поскольку случайная величина распределена равномерно, то обозначим плотность
совместного распределения через C, т.е. 
. Область интегрирования D – есть
трапеция ABCD.
Воспользуемся свойством двумерной плотности распределения: 
Для нашего случая получаем: 
Рассмотрим трапецию ABCD - область D. Разобьем область D, на три части:
прямоугольный треугольник ABN, прямоугольник NBCK и прямоугольный треугольник KCD.
Рассмотрим треугольник ABN. Сверху треугольник ограничен прямой AB, а снизу -
прямой ON, уравнение которой y=0, при этом -6< x<-3.
Найдем уравнение прямой AB: 
Рассмотрим прямоугольник NBCK. Сверху прямоугольник ограничен прямой BC, уравнение которой y=4, а снизу - прямой ON, уравнение которой y=0, при этом -3<x<3.
Рассмотрим треугольник ABN. Сверху треугольник ограничен прямой AB, а снизу -
прямой ON, уравнение которой y=0, при этом 3<x<6.
Найдем уравнение прямой CD: 
Вычислим интеграл:
Тогда совместная плотность вероятности 
б) Найдем плотность распределения составляющей X:
Если x<-6, то f(x,y)=0, следовательно, f1(x)=0
Если -6<x<-3, то 
Если -3<x<3, то 
Если 3<x<6, то 
.
Если x<6, то f(x,y)=0, следовательно 
Таким образом, плотность распределения X имеет вид: 
Найдем плотность распределения составляющей Y:
Если 0<y<4, то трапеция ABCD сверху ограничена прямой CD, уравнение которой 
, а снизу - прямой AB, уравнение которой 
.
Если 0<y<4,то 
Таким образом, плотность распределения Y имеет вид: 
.
№430. Задана плотность совместного распределения двумерной случайной величины (X,Y):
Найти: а) математические ожидания; б) дисперсии составляющих X и Y.
Решение:
а) Найдем сначала плотность распределения составляющей X:
Аналогично получим
Найдем математическое ожидание составляющей X:
Интегрируя по частям и учитывая, что интеграл Пуассона 
, получим 
. Очевидно, что 
.
б) Найдем дисперсию X:
Очевидно, что 
Прокаева Наталия
№431 Задана плотность совместного распределения двумерной случайной величины (
, 
) 
Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.
Решение:
Найдем сначала плотность распределения составляющей 
:
(
).
Аналогично получим
(
).
Найдем математическое ожидание составляющей 
:
Учитывая, что интеграл Пуассона 
, получим
. Очевидно, что 
.
Найдем дисперсию 
:
Очевидно, что 
Ответ: 
; 
