:
, . ..,
238 , 237, , X .
:
:
239 , ,
:
: P=0,9
240 :
, ε .
:
241 10 - . 0,05. , ( ) :
) ;
) .
:
) X - .
M(X) =np=10*0.05=0.5
D(X) =npq=10*0.05*0.95=0.475
:
P (|X-M(X)|<e)>=1- (D(X)/e*e)
()=0,5; D(X) =0,475, e = 2,
P (| X- 0.5 | <2)>=1-(0.475/4)=0.88
) |X-0.5|<2 |X-0.5|>=2 , . ,
P (|X-0.5|>2)<=1-0.88=0.12
243. 1/2. , , X 40 60, 100 .
.
X 100
:
*
:
M(X)=50, D(X)=25, = 10
244
¼. , , 150 250, 800 .
.
800 :
() = n*p = 800* ¼ = 200; D(X) = n*p*q= 800* ¼ * ¾ =150.
() = 200:
ε = 250 200 = 10.
(| ()|< ε) ≥ 1 D(X)/ε2.
() = 200, D(X) = 150, ε=50,
(| 200|< 50) ≥ 1 150/502 = 1 0,06 = 0,94.
245 X
X 0,3 0,6
0,2 0,8
,
, | ()|<0,2.
|
|
:
X:
M(X)=0,3 0,2 + 0,6 0,8=0,54
D(X)=M(X2)-[M(X)]2= (0,32 0,2+0,62 0,8) 0,542 =0,0144.
(| (X) | < ) ≥1-D ()/ 2
()=0,54, D(X) =0,0144, =0,2,
(| X- 0,54| < 0,2) ≥1 -0,0144/0,04 =0,64.
246 X
X 0,1 0,4 0,6
0,2 0,3 0,5
,
, | ()|<
:
X:
M(X)=0,1 0,2 + 0,4 0,3+0,6 0,5 = 0,44
D(X)=M(X2)-[M(X)]2= (0,12 0,2 + 0,42 0,3+0,62 0,5) 0,442 =0,0364.
(| (X) | < ) ≥1-D ()/ 2
()=0,44, D(X) =0,0364, =
(| X- 0,44| < ) ≥1 -0,0364/0,4 =0,909.
247
p |
?
:
, , ,
1) ,
2) ,
3) .
, , .. .
, :
, ( ) , .. .
, . :
p |
, ,
p |
:
:
,
, .. .
, , .
: .
248
a | -a | |
p |
?
:
, , ,
1) ,
2) ,
3) .
, , .. .
, :
, ( ) , .. .
, . :
a 2 | a 2 | |
p |
, ,
a 2 | |
p |
:
:
|
|
, , , , :
,
, .. .
, , .
: .
249
n+1 | -n | |
p |
) ,
) , ?
:
) :
, . :
p |
:
:
, , , , :
, , .
) , , , , .
250 1, 2, , n,
?
:
n , , .. .
, M(Xn)=0, .. .
.
D(Xn)=M(Xn2)-[M(Xn)]2,
, M(Xn)=0, ( )
, n ( , n ), φ()=2/2-1.
, 1=0 2=ln 2.
(n , ); , 2=2/ln 2 φ() . , 2/ln 2 ≈ 2.9 N , D(Xn)= (n2/2n-1)α2 2.9 ( ) , .. n=2 n=3.
n=2 D(X2)=2α2, n=3 D(3)=9/4α2. ,
(9/4)α2 > 2α2.
, (9/4)α2, .. n (9/4)α2.
, , , .
251 X1, X2, , Xn,
?
. , , , , , .
:
n , , .. .
, M(Xn)=0, .. .
.
D(Xn)=M(Xn2)-[M(Xn)]2,
, M(Xn)=0,
D(Xn)=2
, 2, .. n 2.
, , , .
|
|
252
, , (0, 1/3).
:
, , (a, b), : P(a<X<b)=F(b)-F(a). =0, b=1/3,
253 F(x)=1/2+(arctg x)/π. , , (0, 1).
:
, , (a, b), : P(a<X<b)=F(b)-F(a). =0, b=1,
(0< <1) = F(1)-F(0) = [1/2+1/4]x=1 - [1/2+0]x=0 = 1/4
254
, , (-1, 1).
:
, , (a, b), : P(a<X<b)=F(b)-F(a). =-1, b=1,
(-1< <1) = F(1)-F(-1) = [1/2+5/6]x=-1 [1/2+1/6]x=1 = 1/3.
255 ( ) F()=1--/T(≥0). ≥.
:
, , x≥T, : P(0<X<T)=F(T)-F(0). ,
P(x≥T) = 1 - P(T<x) = 1 - P(0< X <T) = 1 F(T)+F(0) = 1 - (1-1/e)+(1-1) = 1/e
256
, : ) 0.2; ) ; ) ; ) .
:
) ≤2 F()=0, F(0, 2)=0, .. P( < 0, 2)=0;
) ( < 3) = F(3) = [0.5x-1]x=3 = 1.5-1 = 0.5;
) ≥3 <3 , (≥3)+(<3)=1. , , (<3)=0.5 [. . .], (≥3) = 1-0.5 = 0.5;
) , (≥5)+(<5)=1. , , >4 F(x)=1, (≥5) = 1-(<5) = 1-F(5) = 1-1 = 0.
257
, , (0.25, 0.75).
:
, , (a, b), : P(a<X<b)=F(b)-F(a). =0.25, b=0.75,
P(0.25< X <0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.5
, , (0.25, 0.75). :
n=4, k=3, p=0.5, q=1-0.5=0.5.
.
: 0,25.
258 X Ox . x1, : ¼ X x1 .
.
X ≤ x1 X > x1 - , . , . P(X=x1) =0, .
|
|
, .
, ½+(1/π)arctg(x1/2)=(3/4), . x1/2=1, x1=2.
: 2.
259 X Ox . x1, : 1/6 X x1 .
.
X ≤ x1 X > x1 - , . , . P(X=x1) =0, .
, .
, ½+(1/π)arctg(x1/2)=(3/4), . , .
260 X
X | |||
p | 0,5 | 0,2 | 0,3 |
F(x) .
.
x ≤ 2, F(x)=0. , 2 X . , x ≤ 2 F(x)=P(X<x)=0.