Глава 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Определить, какие из точек M1(3; 1), M2(2; 3), M3(6; 3), M4(-3; -3), M5(3; -1), M6(-2; 1) лежат на прямой и какие на ней не лежат.
Точки P1, P2, P3, P4, P5 расположены на прямой ; их абсциссы соответственно равны числам 4; 0; 2; -2; -6. Определить ординаты этих точек.
Точки Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 расположены на прямой ; их ординаты соответственно равны числам 1; 0; 2; -1, 3. Определить абсциссы этих точек.
Определить точки пересечения прямой с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.
Найти точку пересечения двух прямых , .
Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны соответственно уравнениями , , . Определить координаты его вершин.
Даны уравнения двух сторон параллелограмма , и уравнение одной из его диагоналей . Определить координаты вершин этого параллелограмма.
Стороны треугольника лежат на прямых , , . Вычислить его площадь S.
Площадь треугольника S=8, две его вершины суть точки А(1; -2), В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой . Определить координаты вершины С.
Площадь треугольника S=1,5, две его вершины суть точки А(2; -3), В(3; -2), центр масс этого треугольника лежит на прямой . Определить координаты третьей вершины С.
Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Oy:
220.1
k=2/3, b=3;
220.2
k=3, b=0;
220.3
k=0, b=-2;
220.4
k=-3/4, b=3;
220.5
k=-2, b=-5;
220.6
k=-1/3, b=2/3.
Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy, для каждой из прямых:
221.1
;
221.2
;
221.3
;
221.4
;
221.5
.
Дана прямая . Определить угловой коэффициент k прямой:
222.1
Параллельной данной прямой;
222.2
Перпендикулярно к данной прямой.
Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(2; 1):
223.1
Параллельно данной прямой;
223.2
Перпендикулярно данной прямой.
Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.
Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение одной из его диагоналей . Найти вершины прямоугольника.
Найти проекцию точке Р(-5; 13) относительно прямой .
Найти точку Q, симметричную точке Р(-5; 13) относительно прямой .
В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними:
228.1
, ;
228.2
, ;
228.3
, ;
228.4
, ;
228.5
, .
Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки:
229.1
M1(2; -5), M2(3; 2);
229.2
P(-3, 1), Q(7; 8);
229.3
A(5; -3), B(-1; 6).
Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно противоположным сторонам.
Даны середины сторон треугольника M1(2; 1), M2(5; 3), M3(3; -4). Составить уравнение его сторон.
Даны две точки P(2; 3), Q(-1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно к отрезку .
Составить уравнение прямой, если точка P(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.
Стороны треугольника даны уравнениями , , . Определить точку пересечения его высот.
Даны вершины треугольника A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.
Даны вершины треугольника A(2; -2), B(3; -5), C(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине А.
Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0).
Через точки M1(-1; 2), M2(2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.
Доказать, что условие, при котором три точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) лежат на одной прямой, может быть записано в следующем виде:
Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), может быть записано в следующем виде:
Даны последовательные вершины выпуклого четырехугольника A(-3; 1), B(3; 9), C(7; 6), D(-2; -6). Определить точку пересечения его диагоналей.
Даны две смежные вершины A(-3; -1), B(2; 2) параллелограмма ABCD и точка Q(3; 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.
Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение его диагонали . Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.
Даны вершины треугольника A(1; -2), B(5; 4), C(-2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3) и B(11; -15).
Найти проекцию точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точки A(2; -3), B(-5; 1).
Найти точку M1, симметричную точке М2(8; -9) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -4), B(-1; -2).
На оси абсцисс найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(1; 2), N(3; 4) была наименьшей.
На оси ординат найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(-3; 2), N(2; 5) была наибольшей.
На прямой найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек A(-7; 1), B(-5; 5) была бы наименьшей.
На прямой найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек A(4; 1), B(0; 4) была бы наибольшей.
Определить угол между двумя прямыми:
253.1
, ;
253.2
, ;
253.3
, ;
253.4
, .
Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0(2; 1) под углом 450 к данной прямой.
Точка А(-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.
Даны две противоположные вершины квадрата A(-1; 3), C(6; 2). Составить уравнения его сторон.
Точка E(1; -1) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.
Из точки M0(-2; 3) под углом к оси Ox направлен луч света. Известно, что . Дойдя до оси Ox, луч от нее отразился. Составить уравнения прямых, на которых лежат падающий и отраженный лучи.
Луч света направлен по прямой , луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
Даны уравнения сторон треугольника , , . Доказать, что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника.
Доказатть, что уравнение прямой, проходящей через точку M1(x1; y1) параллельно прямой , может быть записано в виде .
Составить уравнение прямой, проходящей через точку М1(2: -3) параллельно прямой:
262.1
;
262.2
;
262.3
;
262.4
;
262.5
.
Доказать, что условие перпендикулярности прямых ; может быть записано в следующем виде: .
Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.
264.1
, ;
264.2
, ;
264.3
, ;
264.4
, ;
264.5
, ;
264.6
, .
Доказать, что формула для определения угла между прямыми , может быть записана в следующей форме:
Определить угол , образованный двумя прямыми. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.
266.1
, ;
266.2
, ;
266.3
, .
Даны две вершины треугольника M1(-10; 2), M2(6; 4); его высоты пересекаются в точке N(5; 2). Определить координаты третьей вершины M3.
Даны две вершины A(3; -1), B(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; -1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.
В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: , уравнения высот АМ: и BN: . Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.
Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершина А(1; 3) и уравнения двух медиан , .
Составить уравнения сторон треугольника, сли даны одна из его вершин B(-4; -5) и уравнения двух высот , .
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин A(4; -1) и уравнения двух биссектрис , .
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин B(2; 6), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из одной вершины.
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -1), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из различных вершин.
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; -1), а также уравнения высоты и медианы , проведенной из одной вершины.
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -7), а также уравнения высоты и медианы , проведенных из различных вершин.
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; 3), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из одной вершины.
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A(3; -1), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из различных вершин.
Составить уравнение прямой, которая проходит черезначало координат и вместе с прямыми , образует треугольник с площадью, равной 1,5.
Среди прямых, проходящих через точку P(3; 0), найти такую, отрезок которой, заключенный между прямыми , , делится в точке Р пополам.
Через точку Р(-3; -1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что отрезок каждой из них, заключенный между прямыми , , делится в точке Р пополам.
Через точку Р(0; 1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок которой, заключенный между прямыми , , делился бы в точке Р пополам.
Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми , , равна .
Составить уравнение прямой, проходящей через точку С(-5; 4), зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми , , равна 5.
Глава 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение прямой "в отрезках"
Определить, при каком значении a прямая :
285.1
Параллельна оси абсцисс;
285.2
Параллельна оси ординат;
285.3
Проходит через начало координат.
Определить, при каких значениях m и n прямая параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат отрезок, равный –3 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.
Определить, при каких значениях m и n прямая параллельна оси ординат и отсекает на оси абсцис отрезок, равный +5 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.
Доказать, что в следующих случаях две данные прямые пересекаются, и найти точку их пересечения:
288.1
, ;
288.2
, ;
288.3
, ;
288.4
, ;
288.5
, .
Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:
289.1
, ;
289.2
, ;
289.3
, ;
289.4
, .
Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:
290.1
, ;
290.2
, ;
290.3
, .
Определить, при каких значениях a и b две прямые , :
291.1
Имеют одну общую точку;
291.2
Параллельны;
291.3
Совпадают
Определить, при каких значениях m и n две прямые , :
292.1
Параллельны;
292.2
Совпадают;
292.3
Перпендикулярны.
Определить, при каком значении m две прямые , пересекаются в одной точке, лежащей на оси абсцисс.
Определить, при каком значении m две прямые , пересекаются в точке, лежающей на оси ординат.
Установить, пересекаются ли в одной точке три прямые в следующих случаях:
295.1
, , ;
295.2
, , ;
295.3
, , .
Доказать, что если три прямые , , пересекаются в одной точке, то
.
Доказать, что если
,
то три прямые , , пересекаются в одной точке или параллельны.
Определить, при каком значении а три прямые , , будут пересекаться в одной точке.
Даны прямые. Составить для них уравнения «в отрезках» и построить эти прямые на чертеже.
299.1
;
299.2
;
299.3
;
299.4
;
299.5
.
Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла.
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M1(3; -7) и отсекает на коордиатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным от начала координат).
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P(2; 3) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый отрезок от начала координат.
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1; 1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равно 2.
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку В(5; -5) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 50.
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(12; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 15.
Через точку М(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3. Определить точки пересечения той прямой с осями координат.
Через точку M1(x1, y1), где x1y1>0, проведена прямая , отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна S. Определить, при каком соотношении между величинами x1, y1 и S отрезки a и b будут иметь одинаковые знаки.
и какие на ней не лежат.
; их абсциссы соответственно равны числам 4; 0; 2; -2; -6. Определить ординаты этих точек.
; их ординаты соответственно равны числам 1; 0; 2; -1, 3. Определить абсциссы этих точек.
с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.
, 
.
, 
, 
. Определить координаты его вершин.
, 
и уравнение одной из его диагоналей 
. Определить координаты вершин этого параллелограмма.
, 
, 
. Вычислить его площадь S.
. Определить координаты вершины С.
. Определить координаты третьей вершины С.
;
;
;
;
.
. Определить угловой коэффициент k прямой:
. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(2; 1):
, 
и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.
, 
и уравнение одной из его диагоналей 
. Найти вершины прямоугольника.
.
, 
;
, 
;
;
, 
;
, 
.
.
, 
, 
, 
и уравнение его диагонали 
. Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.
найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек A(-7; 1), B(-5; 5) была бы наименьшей.
найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек A(4; 1), B(0; 4) была бы наибольшей.
между двумя прямыми:
, 
, 
;
, 
;
, 
.
. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.
. Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.
к оси Ox направлен луч света. Известно, что 
. Дойдя до оси Ox, луч от нее отразился. Составить уравнения прямых, на которых лежат падающий и отраженный лучи.
, 
, 
. Доказать, что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника.
, может быть записано в виде 
.
;
;
;
;
.
; 
может быть записано в следующем виде: 
.
, 
;
, 
;
, 
;
, 
;
, 
, 
.
;
, 
;
, 
.
, уравнения высот АМ: 
и BN: 
. Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.
, 
.
, 
.
, 
.
и биссектрисы 
, проведенных из одной вершины.
и биссектрисы 
, проведенных из различных вершин.
и медианы 
, проведенной из одной вершины.
и медианы 
, проведенных из различных вершин.
, проведенных из одной вершины.
и медианы 
, проведенных из различных вершин.
, 
образует треугольник с площадью, равной 1,5.
, 
, делится в точке Р пополам.
, 
, делится в точке Р пополам.
, делился бы в точке Р пополам.
, 
, равна 
.
, 
, равна 5.
:
параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат отрезок, равный –3 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.
параллельна оси ординат и отсекает на оси абсцис отрезок, равный +5 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.
, 
;
, 
;
, 
;
, 
;
, 
.
, 
;
, 
;
, 
.
;
, 
;
, 
.
, 
:
, 
:
, 
пересекаются в одной точке, лежащей на оси абсцисс.
, 
пересекаются в точке, лежающей на оси ординат.
, 
, 
;
, 
, 
, 
, 
.
, 
пересекаются в одной точке, то
.
, 
будут пересекаться в одной точке.
;
;
;
.
от координатного угла.
, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна S. Определить, при каком соотношении между величинами x1, y1 и S отрезки a и b будут иметь одинаковые знаки.
