Глава 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

		Определить, какие из точек M₁(3; 1), M₂(2; 3), M₃(6; 3), M₄(-3; -3), M₅(3; -1), M₆(-2; 1) лежат на прямой и какие на ней не лежат.
		Точки P₁, P₂, P₃, P₄, P₅ расположены на прямой ; их абсциссы соответственно равны числам 4; 0; 2; -2; -6. Определить ординаты этих точек.
		Точки Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ расположены на прямой ; их ординаты соответственно равны числам 1; 0; 2; -1, 3. Определить абсциссы этих точек.
		Определить точки пересечения прямой с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.
		Найти точку пересечения двух прямых , .
		Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны соответственно уравнениями , , . Определить координаты его вершин.
		Даны уравнения двух сторон параллелограмма , и уравнение одной из его диагоналей . Определить координаты вершин этого параллелограмма.
		Стороны треугольника лежат на прямых , , . Вычислить его площадь S.
		Площадь треугольника S=8, две его вершины суть точки А(1; -2), В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой . Определить координаты вершины С.
		Площадь треугольника S=1,5, две его вершины суть точки А(2; -3), В(3; -2), центр масс этого треугольника лежит на прямой . Определить координаты третьей вершины С.
		Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Oy:
	220.1	k=2/3, b=3;
	220.2	k=3, b=0;
	220.3	k=0, b=-2;
	220.4	k=-3/4, b=3;
	220.5	k=-2, b=-5;
	220.6	k=-1/3, b=2/3.
		Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy, для каждой из прямых:
	221.1	;
	221.2	;
	221.3	;
	221.4	;
	221.5	.
		Дана прямая . Определить угловой коэффициент k прямой:
	222.1	Параллельной данной прямой;
	222.2	Перпендикулярно к данной прямой.
		Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀(2; 1):
	223.1	Параллельно данной прямой;
	223.2	Перпендикулярно данной прямой.
		Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.
		Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение одной из его диагоналей . Найти вершины прямоугольника.
		Найти проекцию точке Р(-5; 13) относительно прямой .
		Найти точку Q, симметричную точке Р(-5; 13) относительно прямой .
		В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними:
	228.1	, ;
	228.2	, ;
	228.3	, ;
	228.4	, ;
	228.5	, .
		Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки:
	229.1	M₁(2; -5), M₂(3; 2);
	229.2	P(-3, 1), Q(7; 8);
	229.3	A(5; -3), B(-1; 6).
		Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно противоположным сторонам.
		Даны середины сторон треугольника M₁(2; 1), M₂(5; 3), M₃(3; -4). Составить уравнение его сторон.
		Даны две точки P(2; 3), Q(-1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно к отрезку .
		Составить уравнение прямой, если точка P(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.
		Даны вершины треугольника M₁(2; 1), M₂(-1; -1), M₃(3; 2). Составить уравнения его высот.
		Стороны треугольника даны уравнениями , , . Определить точку пересечения его высот.
		Даны вершины треугольника A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.
		Даны вершины треугольника A(2; -2), B(3; -5), C(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине А.
		Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0).
		Через точки M₁(-1; 2), M₂(2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.
		Доказать, что условие, при котором три точки M₁(x₁, y₁), M₂(x₂, y₂), M₃(x₃, y₃) лежат на одной прямой, может быть записано в следующем виде:
		Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две данные точки M₁(x₁, y₁), M₂(x₂, y₂), может быть записано в следующем виде:
		Даны последовательные вершины выпуклого четырехугольника A(-3; 1), B(3; 9), C(7; 6), D(-2; -6). Определить точку пересечения его диагоналей.
		Даны две смежные вершины A(-3; -1), B(2; 2) параллелограмма ABCD и точка Q(3; 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.
		Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение его диагонали . Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.
		Даны вершины треугольника A(1; -2), B(5; 4), C(-2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.
		Составить уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3) и B(11; -15).
		Найти проекцию точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точки A(2; -3), B(-5; 1).
		Найти точку M₁, симметричную точке М₂(8; -9) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -4), B(-1; -2).
		На оси абсцисс найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(1; 2), N(3; 4) была наименьшей.
		На оси ординат найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(-3; 2), N(2; 5) была наибольшей.
		На прямой найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек A(-7; 1), B(-5; 5) была бы наименьшей.
		На прямой найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек A(4; 1), B(0; 4) была бы наибольшей.
		Определить угол между двумя прямыми:
	253.1	, ;
	253.2	, ;
	253.3	, ;
	253.4	, .
		Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M₀(2; 1) под углом 45⁰ к данной прямой.
		Точка А(-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.
		Даны две противоположные вершины квадрата A(-1; 3), C(6; 2). Составить уравнения его сторон.
		Точка E(1; -1) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.
		Из точки M₀(-2; 3) под углом к оси Ox направлен луч света. Известно, что . Дойдя до оси Ox, луч от нее отразился. Составить уравнения прямых, на которых лежат падающий и отраженный лучи.
		Луч света направлен по прямой , луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
		Даны уравнения сторон треугольника , , . Доказать, что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника.
		Доказатть, что уравнение прямой, проходящей через точку M₁(x₁; y₁) параллельно прямой , может быть записано в виде .
		Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₁(2: -3) параллельно прямой:
	262.1	;
	262.2	;
	262.3	;
	262.4	;
	262.5	.
		Доказать, что условие перпендикулярности прямых ; может быть записано в следующем виде: .
		Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.
	264.1	, ;
	264.2	, ;
	264.3	, ;
	264.4	, ;
	264.5	, ;
	264.6	, .
		Доказать, что формула для определения угла между прямыми , может быть записана в следующей форме:
		Определить угол , образованный двумя прямыми. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.
	266.1	, ;
	266.2	, ;
	266.3	, .
		Даны две вершины треугольника M₁(-10; 2), M₂(6; 4); его высоты пересекаются в точке N(5; 2). Определить координаты третьей вершины M₃.
		Даны две вершины A(3; -1), B(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; -1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.
		В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: , уравнения высот АМ: и BN: . Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.
		Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершина А(1; 3) и уравнения двух медиан , .
		Составить уравнения сторон треугольника, сли даны одна из его вершин B(-4; -5) и уравнения двух высот , .
		Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин A(4; -1) и уравнения двух биссектрис , .
		Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин B(2; 6), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из одной вершины.
		Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -1), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из различных вершин.
		Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; -1), а также уравнения высоты и медианы , проведенной из одной вершины.
		Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -7), а также уравнения высоты и медианы , проведенных из различных вершин.
		Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; 3), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из одной вершины.
		Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A(3; -1), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из различных вершин.
		Составить уравнение прямой, которая проходит черезначало координат и вместе с прямыми , образует треугольник с площадью, равной 1,5.
		Среди прямых, проходящих через точку P(3; 0), найти такую, отрезок которой, заключенный между прямыми , , делится в точке Р пополам.
		Через точку Р(-3; -1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что отрезок каждой из них, заключенный между прямыми , , делится в точке Р пополам.
		Через точку Р(0; 1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок которой, заключенный между прямыми , , делился бы в точке Р пополам.
		Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми , , равна .
		Составить уравнение прямой, проходящей через точку С(-5; 4), зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми , , равна 5.

Глава 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение прямой "в отрезках"

		Определить, при каком значении a прямая :
	285.1	Параллельна оси абсцисс;
	285.2	Параллельна оси ординат;
	285.3	Проходит через начало координат.
		Определить, при каких значениях m и n прямая параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат отрезок, равный –3 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.
		Определить, при каких значениях m и n прямая параллельна оси ординат и отсекает на оси абсцис отрезок, равный +5 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.
		Доказать, что в следующих случаях две данные прямые пересекаются, и найти точку их пересечения:
	288.1	, ;
	288.2	, ;
	288.3	, ;
	288.4	, ;
	288.5	, .
		Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:
	289.1	, ;
	289.2	, ;
	289.3	, ;
	289.4	, .
		Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:
	290.1	, ;
	290.2	, ;
	290.3	, .
		Определить, при каких значениях a и b две прямые , :
	291.1	Имеют одну общую точку;
	291.2	Параллельны;
	291.3	Совпадают
		Определить, при каких значениях m и n две прямые , :
	292.1	Параллельны;
	292.2	Совпадают;
	292.3	Перпендикулярны.
		Определить, при каком значении m две прямые , пересекаются в одной точке, лежащей на оси абсцисс.
		Определить, при каком значении m две прямые , пересекаются в точке, лежающей на оси ординат.
		Установить, пересекаются ли в одной точке три прямые в следующих случаях:
	295.1	, , ;
	295.2	, , ;
	295.3	, , .
		Доказать, что если три прямые , , пересекаются в одной точке, то .
		Доказать, что если , то три прямые , , пересекаются в одной точке или параллельны.
		Определить, при каком значении а три прямые , , будут пересекаться в одной точке.
		Даны прямые. Составить для них уравнения «в отрезках» и построить эти прямые на чертеже.
	299.1	;
	299.2	;
	299.3	;
	299.4	;
	299.5	.
		Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла.
		Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M₁(3; -7) и отсекает на коордиатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным от начала координат).
		Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P(2; 3) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый отрезок от начала координат.
		Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1; 1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равно 2.
		Составить уравнение прямой, которая проходит через точку В(5; -5) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 50.
		Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.
		Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(12; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 15.
		Через точку М(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3. Определить точки пересечения той прямой с осями координат.
		Через точку M₁(x₁, y₁), где x₁y₁>0, проведена прямая , отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна S. Определить, при каком соотношении между величинами x₁, y₁ и S отрезки a и b будут иметь одинаковые знаки.