Глава 18. Эллипс
| Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: | ||
| 444.1 | его полуоси ранвы 5 и 2;
| |
| 444.2 | его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;
| |
| 444.3 | его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2c=10;
| |
| 444.4 | расстояние между его фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/5.
| |
| 444.5 | его большая ось равна 20, а эксцентриситет e=3/5.
| |
| 444.6 | его малая ось равна 10, а эксцентриситет e=12/13;
| |
| 444.7 | расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2c=4;
| |
| 444.8 | его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;
| |
| 444.9 | его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;
| |
| 444.10 | расстояние между его директрисами равно 32 и e=1/2.
| |
| Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично начала координат, зная, кроме того, что: | ||
| 445.1 | его полуоси равны соответственно 7 и 2;
| |
| 445.2 | его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;
| |
| 445.3 | расстояние между его фокусами 2c=24 и эксцентриситет e=12/13.
| |
| 445.4 | его малая ось равна 16, а эксцентриситет e=3/5.
| |
| 445.5 | расстояние между его фокусами 2c=6 и расстояние между директрисами равно 50/3;
| |
| 445.6 | расстояние между его директрисами равно 32/3 и эксцентриситет e=3/4.
| |
| Определить полуоси каждого из следующих эллипсов: | ||
| 446.1 |  ;
| |
| 446.2 |  ;
| |
| 446.3 |  ;
| |
| 446.4 |  ;
| |
| 446.5 |  ;
| |
| 446.6 |  ;
| |
| 446.7 |  ;
| |
| 446.8 |  ;
| |
| 446.9 |  ;
| |
| 446.10 |  .
| |
Дан эллипс  . Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.
| ||
Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса  , а две другие совпадают с концами его малой оси.
| ||
Дан эллипс  . Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.
| ||
Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса  , две другие лежат с концами его малой оси.
| ||
Вычислить расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса  до односторонней с этим фокусом директрисы.
| ||
Пользуясь одним циркулем, построить фокусы эллипса (считая, что изображены оси координат и задана масштабная единица).
| ||
На эллипсе  найти точку, абсцисса которых равна –3.
| ||
Определить, какие из точек A1(-2; 3), A2(2; -2), A3(2; -4), A4(-1; 3), A5(-4; -3), A6(3; -1), A7(3; -2), A8(2; 1), A9(0; 15), A10(0; -16) лежат на эллипсе  , какие внутри и какие вне его.
| ||
Установить, какие линии опеределяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
| ||
| 455.1 |  ;
| |
| 455.2 |  ;
| |
| 455.3 |  ;
| |
| 455.4 |  .
| |
Эксцентриситет эллипса e=2/3, фокальный радиус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.
| ||
Эксцентриситет эллипса e=2/5, расстояние от точки эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, односторонней с этой директрисой.
| ||
Дана точка М1(2; -5/3) на эллипсе  ; составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М1.
| ||
Убедившись, что точка M1(-4; 2,4) лежит на эллипсе  , определить фокальные радиусы точки М1.
| ||
Эксцентриситет эллипса e=1/3, центр его совпадает с началом координат, один из фокусов (-2; 0). Вычислить расстояние от точки М1 эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.
| ||
Эксцентриситет эллипса e=1/2, центр его совпадает с началом координат, одна из директрис дана уравнением x=16. Вычислить расстояние от точки M1 эллипса с абсциссой, равной –4, до фокуса, одностороннего с данной директрисой.
| ||
Определить точки эллипса  , расстояние которых до правого фокуса равно 14.
| ||
Определить точки эллипса  , расстояние которых до левого фокуса равно 2,5.
| ||
Через фокус эллипса  проведен перпендикуляр к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.
| ||
| Составить уравнения эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны: | ||
| 465.1 | точка М1( ; 2) эллипса и его малая полуось b=3;
| |
| 465.2 | точка М1(2; -2) эллипса и его большая полуось a=4;
| |
| 465.3 | точки М1(4;  ) и М2( ; 3) эллипса;
| |
| 465.4 | точка М1( ; -1) эллипса и его эксцентриситет e=2/3;
| |
| 465.5 | точка М1(2; -5/3) эллипса и его эксцентриситет e=2/3;
| |
| 465.6 | точка М1(8; 12) эллипса и расстояние r1=20 от нее до левого фокуса.
| |
| 465.7 | точка М1( ; 2) эллипса и расстояние между его директрисами, равное 10.
| |
| Определить эксцентриситет e эллипса, если: | ||
| 466.1 | его малая ось видна из фокусов под углом 600;
| |
| 466.2 | отрезок между фокусами виден и вершин малой оси под прямым углом;
| |
| 466.3 | расстояние между директрисами в три раза больше расстояния между фокусами;
| |
| 466.4 | отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса пополам.
| |
Через фокус F эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси (см. рис.). Определить, при каком значении эксцентриситета эллипса отрезки  и  будут параллельны.
| ||
Составить уравнение эллипса с полуосями a, b и центром C(x0, y0), если известно, что оси симметрии эллипса параллельны осям координат.
| ||
Эллипс касается оси абсцисс в точке А(3; 0) и оси ординат в точке В(0; -4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.
| ||
Точка С(-3; 2) является центром эллипса, касающегося обеих координатных осей. Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.
| ||
| Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис: | ||
| 471.1 |  ;
| |
| 471.2 |  ;
| |
| 471.3 |  .
| |
| Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже. | ||
| 472.1 |  ;
| |
| 472.2 |  ;
| |
| 472.3 |  ;
| |
| 472.4 |  .
| |
| Составить уравнение эллипса, зная, что: | ||
| 473.1 | его большая ось равна 26 и фокусы суть F1(-10; 0), F2(14;0);
| |
| 473.2 | его малая ось равна 2 и фокусы суть F1(-1; -1), F2(1; 1);
| |
| 473.3 | его фокусы суть F1(-2; 3/3), F2(2; -3/2) и эксцентриситет e=  .
| |
| 473.4 | его фокусы суть F1(1; 3), F2(3; 1) и расстояние между директрисами равно  .
| |
Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет  , фокус F (-4; 1) и уравнение соответствующей директрисы 
| ||
Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет e=1/2, фокус F(-4; 1) и уравнение соответствующей директрисы  .
| ||
Точка А(-3; -5) лежит на эллипсе, фокус которого F(-1; -4), а соответствующая директриса дана уравнением  . Составить уравнение этого эллипса.
| ||
Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет e=1/2, фокус F(3; 0) и уравнение соответствующей директрисы  .
| ||
Точка M1(2; -1) лежит на эллипсе, фокус которого F(1; 0), а соответствующая директриса дана уравнением  . Составить уравнение этого эллипса.
| ||
Точка M1(3; -1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой  . Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет e= .
| ||
Найти точки пересечения прямой  и эллипса  .
| ||
Найти точки пересечения прямой  и эллипса .
| ||
Найти точки пересечения прямой  и эллипса  .
| ||
| Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает ли, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы следующими уравнениями: | ||
| 483.1 |  , ;
| |
| 483.2 |  ,  ;
| |
| 483.3 |  ,  .
| |
Определить, при каких начениях m прямая  :
| ||
| 484.1 | пересекает эллипс  ;
| |
| 484.2 | касается его; | |
| 484.3 | проходит вне этого эллипса.
| |
Вывести условие, при котором прямая  касается эллипса  .
| ||
Составить уравнение касательной к эллипсу в его точке M1(x1; y1).
| ||
Доказать, что касательные к эллипсу , проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны. (Диаметром эллипса называется его хорда, проходящая через его центр).
| ||
Составить уравнения касательных к эллипсу  , параллельных прямой  .
| ||
Составить уравнения касательных к эллипсу  , перпендикулярных к прямой  .
| ||
Провести касательные к эллипсу  параллельно прямой  и вычислить расстояние d между ними.
| ||
На эллипсе  найти точку М1, ближайшую к прямой  , и вычислить расстояние d от точки М1 до этой прямой.
| ||
Из точки А(10/3; 5/3) проведены касательные к эллипсу . Составить их уравнения.
| ||
Из точки С(10; -8) проведены касательные к эллипсу . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
| ||
Из точки Р(-16; 9) проведены касательные к эллипсу  . Вычислить расстояние d от точки Р до хорды эллипса, соединяющей точки касания.
| ||
Эллипс проходит через точку А(4; -1) и касается прямой  . Составить уравнение этого эллипса при условии, что его оси совпадают с осями координат.
| ||
Составить уравнение эллипса, касающегося двух прямых  ,  , при условии, что его ося совпадают с осями координат.
| ||
Доказать, чо произведение расстояний от центра эллипса до точки пересечения любой его касательной с фокальной осью и до основания перпендикуляра, опущенного из точки касания на фокульную ось, если величина постоянная, равная квадрату большой полуоси эллипса.
| ||
Доказать, что произвдение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату малой полуоси.
| ||
Прямая  касается эллипса, фокусы которого находятся в точках F1(-3; 0), F2(3; 0). Составить уравнение этого эллипса.
| ||
Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к эллипсу и его малая полуось b=2.
| ||
Доказать, что прямая, касающаяся эллипса в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F1M, F2M и проходит вне угла F1MF2.
| ||
Из левого фокуса эллипса  под тупым углом  к оси Ox направлен луч света. Известно, что  . Дойдя до эллипса, луч на него отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
| ||
Определить точки пересечения эллипсов  ,  .
| ||
Убедившись, что эллипсы  ,  ( ) пересекаются в четырех точках, лежающих на окружности с центром в начале координат, определить радиус R этой окружности.
| ||
Плоскости и  образуют угол  =300. Опредлить полуоси эллипса, полученного проектированием на плоскость окружности радиуса R=10,лежащей на плоскости .
| ||
Эллипс, малая полуось которого равна 6, является проекцией окружности радиуса R=12. Опредилть угол между плоскостями, в которых лежат эллипс и окружность.
| ||
Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса R=8. Определить полуоси эллипса, полученного в сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к его оси под уголом =300.
| ||
Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса R=  . Определить, под каким углом к оси цилиндра нужно его пересечь плоскостью, чтобы в сечении получить эллипс с большой полуосью a=2.
| ||
Равномерным сжатием (или равномерным растяжением) плоскости к оси абсцисс называется такое преобразование точек плоскости, при котором произвольная точка M(x; y) перемещается в точку M’(x’; y’) (рис.1) так, что x’=x, y’=qy, где q>0 – постоянная, называемая коэффициентом равномерного сжатия. Аналогично рпи помощи уравнения x’=qx, y’=y определяется равномерное сжатия плоскости к оси Oy (рис. 2). Определить, в какую линию преобразуется окружность  , если коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси абсцисс q=4/5.
| ||
Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Oy равен 3/4. Определить уравнение линии, в которую при таком сжатии преобразуется эллипс .
| ||
Найти уравнение линии, в которую преобразуется эллипс  при двух последовательных равномерных сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к осям Ox и Oy равны соответственно 4/3 и 6/7.
| ||
Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ox, при котором эллипс  преобразуется в эллипс  .
| ||
Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Oy, при котором эллипс  преобразуется в эллипс  .
| ||
Определить коэффициенты q1, q2 двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ox и Oy, при которых эллипс  преобразуется в окружность  .
|
