Вычисление опр-ных интегралов с пом.рядов

Для вычисления определенных интегралов

Подинтегральную ф-цию разлагают в ряд Маклорена и в области равномерной сходимости возможно почленное интегрирование

35.1.Интеграл вида ∫R(sin²x¸cos²x)dx

1. Интегралы вида , где рациональная функция от u и v.

Интегралы указанного вида сводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной t с помощью

подстановки , которую называют универсальной тригонометрической подстановкой. При этом используются формулы тригонометрии .

Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям. Поэтому чаще применяются другие подстановки.

2. Подынтегральная функция удовлетворяет условию

(1)

или условию

. (2)

Тогда можно использовать подстановку , или , соответственно.

3. Подынтегральная функция удовлетворяет условию . Это условие выполняется в частности для функций, содержащих только четные степени и В этом случае часто применяют замену переменной , где или , где .При этом, так как или ,то . Функции и выражаются через t с помощью тригонометрических формул и .

35.2.Разложение в ряд ф-ции y=arcsinx и y=lg(1+x)

для всех

1) ;

;

;

при X=1 ряд тоже сходится

36.1.Интеграл ∫sin^mxcosⁿxdx

4. Вычисление интегралов вида , где m и n? целые числа.

В этом случае полезно пользоваться следующими правилами:

А) если m - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или, (что то же самое) делаем замену переменной . При этом число n может быть рациональной дробью. Аналогично, если n - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или применяем подстановку . Сравни с 1.

Б) если оба показателя m и n - четные положительные числа, то подынтегральную функцию преобразуют с помощью формул понижения степени: , и

В) если число m+n является четным отрицательным числом, то можно сделать замену переменной или

Г) если степени m и n отрицательны, то часто бывает полезным уменьшить степени с помощью основного тригонометрического тождества.

Примечание. В общем случае интегралы вида , где m и n - целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путем интегрирования по частям.

Биномиальный ряд

степенной ряд вида

Биномиальный ряд, бесконечный ряд, являющийся обобщением формулы Ньютона бинома (1 + х) n на случай дробных и отрицательных показателей n:

Биномиальный ряд сходится: при —1 < x <1, если n < —1; при —1< x £ 1, если —1 < n < 0; при —1 £ x £ 1, если n > 0.