Необх-мый признак сх-сти ряда.Следствие

Теорема: если числовой ряд а₁+ а₂+…+а_n+… (1) сходится, то предел его общ. члена при неогранич. Возрастании номера n-0

Lim_n→∞ a_n =0

Док-во: если ряд 1 сходится, то сущ-т предел Lim_n→∞ S_n(6), что тогда сущ-т также и предел Lim S_n-1=S(7) (т.к. если n→∞,то и n→1 тоже =>8

Вытикая из (6) и (7) имеем:

Lim_n→∞ S_n - Lim_n→0 = 0

Lim_n→∞ (S_n – S_n-1) = 0 ((S_n –S_n-1)=0)=a_n

(S_n= S_N-1 + a_n)

Lim_n→∞ a_n = 0

Знаем, что это признак явл-ся необходимым, но сущ. недостаток, если Lim_n→∞ a_n =0 то это не означает, что ряд 1 сходится

 

Частные производные

Опр.Частной производной от ф-ции z=f(x,y) по переменной х, наз.предел отношения частного приращения этой ф-ции к приращению . Обозначим или . ; . Определяем частную производную от переменной у: ; Частной производной ф-ции z=f(x,y) по переменной х наз.обычная производная от ф-ции одной переменной х в кот.приращена ф-ция f(x,y), если предположить, что 2-ая переменная у постоянная. Производная этой ф-ции по у находится в предположении, что х постоянная.

Теоремы о сх-сти рядов

Теорема1: Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов.

Теорема2: Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд , где с – какое-либо фиксированное число, также сходится и его сумма равна сS.

Теорема3: Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны Sa и Sb, то ряды и тоже сходятся и их суммы соответственно равны Sa+Sb и Sa-Sb.

Полный диф-ал

Пусть дана ф-ция z-х перем-ых z=f(x,y).Ее полное приращ-е по опр-ю Δz= f(x+Δx,y)- f(x,y).Можно показ.,что это приращ-е можно предст. в виде , где (1) Гл.часть полн.приращ-я Δz, линейная относ-но Δx, Δу,полным дифф-лом ф-ии z(x,y).Обозн. dz.
.Диф-лы независ.перем-ых х и у по опред-ю равны их приращ-ям dx=Δx, dy=Δy. Поэтому .При достаточно малых зн-ях Δx,Δy 2-мя послед.слагаемыми в ф-ле(1). Можно принебречь.Тогда .

Числовые ряды.Сх-сть.Сумма ряда

Пусть дана числовая последовательность а1, а2, а3, +.., аn+
Выражение вида а1 + а2 + а3 +++ аn (1) - наз-ся числовым рядом
Числа а1, а2, +, аn - наз-ся членами ряда.
Числовой ряд (1) считается заданным, если извесен общий член ряда как функция an=f (n)

Произ-ная сложной ф-ции 2 перем-х.

Пусть дана ф-ия z= z (u,v),где перем-ые u и v не явл. независ., а тоже явл.ф-ми от 2-х перем-ых х и у: U= U(x,y) V=V(x,y).Т.е. мы имеем сложн. ф-цию: .Найдем произв-ую этой ф-ии по перем-ной х.Дадим перем-ой х приращ-е Δх.Тогда перем-ные U и V получ. приращ-е , .При этом получ. приращ-е полное,опр-мое формулой : . Разделим обе части фор-лы наΔx.Перейдем к пределу при х→0. + Если счит.,что ф-ии U(x,y) и V(x,y) равны, то при Δх→0, ΔU→0 и ΔV→0. Поэтому ,
(2).Аналогично можно найти: .(3)