Опр-ный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть дана функция y = f(x), определенная на промежутке [а,b]. Разделим промежуток [а,b] на n частей точками {xn} такими, что

a = x0 < x1 <x2<<xn= b. На каждом промежутке [xi-1, xi ] i=1,2 n выберем произвольным образом точку и составим сумму , где xi = xi?xi-1. Такую сумму будем называть интегральной суммой.

Обозначим через , который мы будем называть диаметром разбиения. Тогда определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a,b] будем называть , если он существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек .

Если такой предел существует, то функция называется интегрируемой на промежутке [a,b]. Нетрудно доказать, что если функция интегрируема, то она ограничена на этом промежутке.

Ясно, что условие стремится к 0 может быть выполнено только, если n стремитсЯ к бесконечности,но эти условия не равносильны, так как можно увеличивать число точек деления n, оставляя один или даже несколько промежутков неизменными.

Рассмотрим геометрический смысл этого определения. Для этого допустим, что . Очевидно, что каждое слагаемое этой суммы равно площади прямоугольника с высотой и основанием Δxi, а вся интегральная сумма

равна площади ступенчатой фигуры, составленной из этих прямоугольников. Также очевидно, что площадь каждого прямоугольника близка к площади полосы, вырезанной из криволинейной трапеции, ограниченной графиком данной функции, осью OX и прямыми x = a и x = b, поэтому площадь ступенчатой фигуры близка к площади всей трапеции, причем, чем меньше диаметр разбиения (длина максимального основания прямоугольника), тем ближе эти площади. Таким образом, предел интегральной суммы, то есть интеграл, равен площади указанной криволинейной трапеции.

равна площади ступенчатой фигуры, составленной из этих прямоугольников. Также очевидно, что площадь каждого прямоугольника близка к площади полосы, вырезанной из криволинейной трапеции, ограниченной графиком данной функции, осью OX и прямыми x = a и x = b, поэтому площадь ступенчатой фигуры близка к площади всей трапеции, причем, чем меньше диаметр разбиения (длина максимального основания прямоугольника), тем ближе эти площади. Таким образом, предел интегральной суммы, то есть интеграл, равен площади указанной криволинейной трапеции.

Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

 

где e — основание натурального логарифма,

i — мнимая единица.

Доказательство формулы Эйлера основано на разложении вышеуказанных функций в ряд Тейлора: (2)

(3)

(4)

 

Преобразуем формулу (2), выполнив подстановку :

Перегруппируем слагаемые, выделив вещественную и мнимую части:

(6)

В соответствии с формулами(3) и (4) вещественная часть функции exp(iφ) равна cos φ, а мнимая часть этой функции равна sin φ. Следовательно,

(7)

 

что и устанавливает формула Эйлера.

Формула Эйлера позволяет обобщить понятие показательной функции вещественного аргумента на случай его комплексных значений:

Св-ва опр-ного интеграла

Если и b > a, то .. Если и b > a, то при любом расположении точек a, b и c. , если - нечетная. , если - четная. , если периодическая.

.

Ряды Тейлора и Маклорена

Если все производные ограничены одной и той же константой, то ряд Тейлора сходится к ф – и по x.

- сходится по признаку Даламбера.

У сходящегося общий член ряда

, отсюда следует, что

Пусть f (x) бесконечно дифференцируема и

Является ли этот ряд рядом Тейлора?

………………………………………………………….

.

Пусть x=x₀, тогда ,

или

f (x) – ряд Тейлора.