 (1)
|
| Каждым членом которого является функция от x. |
| Добавим аргументу x различные значения из (1) будем получать различные числовые ряды некоторые из которых сходятся, а некот. расходятся. |
| Множество значений х, при которых функциональный ряд сходится называется областью сходимости функционального ряда. Очевидно, что область сходимости, тоже является функцией от х. |
Площадь криволинейного сектора в полярных коор-тах
Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом 
и соответствующим полярным радиусом. 
- это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки), а 
- это расстояние от заданной точки до начала координат (полюса).
Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница
Теорема Лейбница:
Если в знакочередующемся ряду 
, где 
положительны, члены таковы, что 
и 
, то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.
Доказательство: Рассмотрим сумму 
первых членов ряда. 
По условию 1 выражение в каждой скобке положительно. Следовательно, сумма 
положительна и возрастает с возрастанием m. Запишем теперь эту же сумму так:
По условию 1 каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из 
мы получим число, меньшее 
. Таким образом, мы установили, что 
при возрастании m возрастает и ограничена сверху. Отсюда следует, что 
имеет предел S
, причем 
. Однако сходимость еще не доказана. Мы доказали только, что последовательность четных частичных сумм имеет пределом число S. Докажем теперь, что нечетные частичные суммы также стремятся к пределу S. Рассмотрим для этого сумму 
первых членов исходного ряда. 
. Так как по условию 2 теоремы 
, то следовательно 
Тем самым мы доказали, что 
как при четном n, так и при нечетном. Следовательно, исходный ряд сходится.
! Теорема Лейбница справедлива, если условия выполняются с некоторого N.
44.1.Вычисление длины дуги кривой
Под длиной дуги 
кривой 
понимается предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломанной, если длина самого большого ее звена стемится к нулю.Допустим, что кривая определена уравнением 
, при этом 
представлена в качестве непрерывно дифференцируемой функции на 
. Разделим ее на 
частей посредством точек с абсциссами 
и проведем через данные точки хорды (рис. 18.9, а). В результате имеем вписанную ломанную с длиной 
ее 
-го звена 
здесь , составляет 
Из определения длины дуги следует 
Поскольку правая часть представляет собой интегральную сумму для функции 
, то (18.1) 
