Статич.моменты.Центр тяжести плоской фигуры

Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной d для всех частей фигуры.

 

Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1,..., x=xn=b на полоски ширины Dx1, Dx2,..., Dxn. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность d. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис.1) с основанием Dxi и высотой f2(x)-f1(x), где x, то масса полоски будет приближенно равна

(i = 1, 2,.,n).

 

Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:

Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

 

 

Переходя к пределу при , получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:

 

 

Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности d фигуры (в процессе вычисления d сократилось).

Св-ва неопр-ного интеграла

1)

По опред. 1 имеем:

(

f(x) 0

2) d(,имеем

d(

f(x)

3) ,в справедливости этого св-ва можно убедиться,найдя диф-л от левой и правой частей:

d( ,согласно св-ву 2,

4) ,

находим произв-ю от левой части:

( dx)`=f1(x) f2(x), согласно св-ву 1.

Находим произв=ю от правой части:

(, производные левой и правой частей совпадают,след-но это рав-во верно

5) где а-постоянная,т.е.пост-ю можно выносить за знак интеграла.

Произв-я от левой части:(1 св-во)

Произв-я от правой части:

(a Произв-е от левой и правой частей совпадают,след-но равны интегралы,стоящие слева и справа.

Двойной интеграл в полярных коор-тах

Часный случай

I= =p

P=I

pdpd

Выражение pdpd являеться-элементом площади.

Таблица интегралов

1)
2) =
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)

Замена перем-ных в двойном интеграле

Рассмотрим

x=(u,v), y=(u,v)-однозначные переменные ф-ии имеющие непрерывные производные

Пусть также эта замена переменных переносит область плоскости Xoy в некатор область плоскости UoV.

Тогда справедлива след формула замена переменных интегрирован в двойном интеграле.

Где I- - определитель Якоби или якобеан перехода от x,y к u,v

Интегрирование методом замены прем-х

Дано ,сделаем замену.

x=

Подставляем это вертикально в данный интеграл. Имеем:

Докажем. Для этого найдём произв-ю от левой части: (

От правой части: (,

f(,т.е.произв-е левой и правой частей совпадают,зн-т и интегралы справа и слева совпадают.

сделаем замену переменных

x= , dx=( dt, t=lnx

, введем замену t=lnx, dt=

=