Метод вращений предназначен для решения полной проблемы собств. знач. для эрмитовых матриц. В алгебре доказывается, что для эрмитовой матрицы 
существует унитарная матрица 
, такая, что преобр. подобия с ней приводит матрицу 
к диагональной матрице 
: 
(1)
Для унитарной матрицы по определению сопряженная матрица равна обратной: 
. Т.о., равенство (1) можно переписать в виде 
(2)
Собств. знач. диагональной матрицы явл. ее диагональные элем. 
, а собств. векторами – соотв. единичные (корд.) векторы 
, где 
- символ Кронекера. Выполнение равенств 
в данном случае очевидно.
Строки унитарной матрицы 
явл. собств. векторами матрицы . Это следует из (2): 
. Действительно, отсюда имеем 
или 
или 
, где 
.
Вещественные симметрические матрицы явл. частным случаем эрмитовых матриц. Рассм. метод вращений для вещественных симметрических матриц.
Найдем наибольший по модулю внедиагональный элемент вещественной симметрической матрицы 
. Пусть таковым оказался элемент 
.Без ограничения общности можно считать 
.
Введем в рассм. матрицу вращения
Умножим матрицу 
справа на матрицу 
. Получим матрицу 
, кот. отличается от матрицы 
только столбцами i и j:
(3), 
(4)
Из (3) и (4) при этом следует, что сумма квадратов элем. этих столбцов остается без изменения:
(5)
Умножим матрицу 
слева на матрицу 
. Получим матрицу 
, кот. отличается от матрицы 
только строками i и j:
(6), 
(7)
Из (6) и (7) при этом следует, что сумма квадратов элем. этих строк остается без изменения:
(8)
Т.о., преобр. подобия 
(9) не меняет суммы квадратов элементов матрицы: 
Преобр. подобия (9) также сохраняет симметричность матрицы: 
.
Теперь начинается самое главное. Преобр. подобия (9) меняет только два диагональных элемента. При этом, из симметрии, формул (8) и (5) следует: 
Это значит, что при 
преобр. (9) увеличит сумму квадратов диагон. элем. и соотв. уменьшит сумму квадратов внедиагон. элем. матрицы на величину 
. Из (6) и (4) получаем ур. для определ. соотв. угла 
Отсюда находим искомый угол поворота 
, 
(10)
Мы рассм. идею метода вращений и получили расчетные форм. метода. В методе вращений строится последовательность матриц 
(11)
по правилу 
(12)
Построение последов. (11) заканчивается получением матрицы 
, недиагон. элем. кот. можно считать равными нулю в пределах заданной точности. При этом ее диагон. элем. принимаются за собств. знач.
В качестве собств. векторов можно взять соотв. строки матрицы 
. Может оказаться, что собств. векторы проще находить непосредственно решением сист. 
.
Теорема. Матричная последов. (11) в методе вращений сходится к диагон. матрице со скоростью геометрической погрешности.
Доказательство. Обозначим 
. Имеем 
Следовательно, сумма квадратов недиагон. элем. в матричной последов. (11) сходится к нулю не хуже, чем геометрическая последов. со знаменателем 
.
