Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и К-Э

Рассмотрим на отрезке задачу Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (1) с начальным условием .(2)

Пусть задача Коши (1), (2) имеет единственное решение . На отрезке зададим последовательность точек

(3)

Говорят, что на отрезке введена сетка. Сетка – это конечное множество точек, в данном случае, на отрезке. Точки называют узлами сетки. Узлы называют граничными, остальные узлы сетки – внутренними. Если расстояние между соседними узлами сетки не одинаково, то говорят, что задана неравномерная сетка. Если же , то говорят, что на отрезке задана равномерная сетка с шагом . В численных методах решения задачи Коши приближенное решение ищется в виде таблицы чисел , приближающих значения точного решения в узлах сетки. Расчетные формулы численных методов решения задачи Коши в большинстве случаев можно представить в виде . (4) Здесь функция опр-ся выбором сетки и способом построения метода. Если , , то расчетная формула (4) принимает вид . (5). Такие методы называют явными одношаговыми. Если , , то расчетная формула (4) принимает вид . (6). Соотв-ий метод называют неявным одношаговым. В случае когда в расчетной формуле (4) или , методы называют многошаговыми. При многошаговые методы, как и одношаговые, называются явными, а при - неявными.

Методы Эйлера, трапеций и Коши-Эйлера.

Рассмотрим задачу Коши для нелинейного о. д. у. первого порядка: , (7) . (8)

На отрезке введем сетку (9)

Геометр. вывод расчетной формулы метода Эйлера.

Пусть найдено уже приближение к решению задачи (7), (8) в узле сетки (9). Обозначим через интегральную кривую дифференциального уравнения (7), проходящую через точку . Проведем к этой интегральной кривой касательную в точке до пересечения с вертикалью в точке и ординату точки возьмем в качестве приближения к решению задачи (7), (8) в узле .

Из прямоугольного треугольника найдем выражение для вычисления

.

Получили для решения задачи Коши (7), (8) расчетную формулу метода Эйлера: (10)

Аналитич. вывод расчетной формулы метода Эйлера.

Проведем разложение в ряд Тейлора (11)

Из этого разложения с учетом, что и , получаем снова расчетное правило метода Эйлера . (10)

Метод Эйлера является одношаговым и явным. Из формул (10) и (11) для погрешности метода Эйлера на шаге следует оценка

, (11)

где - максимальное значение вторых производных для интегральных кривых, лежащих в рассматриваемой окрестности решения .

Погрешность одношагового метода есть величина на единицу меньшего порядка относительно по сравнению с погрешностью на шаге (11). Таким образом, метод Эйлера относится к численным методам первого порядка точности.

Использование квадратурных формул для построения численных методов решения задачи Коши.

Расчетную формулу (10) метода Эйлера можно получить также, применяя квадратурную формулу левых прямоугольников к интегралу в формуле Ньютона-Лейбница . (12)

Если применить к вычислению интеграла в (10) квадратурную формулу трапеций, то получим расчетное правило (13) неявного метода Адамса второго порядка точности или метода трапеций.

Расчетная формула (11) представляет собой уравнение с одним неизвестным . Если начальное приближение вычислить по методу Эйлера и сделать одну итерацию при решении уравнения (13), то получим расчетную формулу (8)

метода Коши-Эйлера. Это явный метод второго порядка точности.