Метод скорейшего спуска решения ЛАС

Этот метод предназначен для решения СЛАУ (1) с веществ., сим-ой, положительно определенной м-цей. Обозн. решение сист. (1) через . Из положит. опред. и сим-ти матрицы следует

. Отсюда видно, что минимум функц-ла достигается на решении сист. (1). Т. о., решение сист. (1) сводится к минимизации функц-ла. Для минимизации функц-ла воспользуемся градиентным методом. В направлении градиента скорость возрастания функц-ла наибольшая. В данном случае для градиента функц-ла справедливо рав-во . Действительно, проводя диф-ие, имеем

Вектор задает направление, противоп. градиенту, то есть направление, в кот. скорость убывания функц-ла наибольшая, если двигаться из точки . Пусть найдено приближение к решению. Рассм. процесс нахождения очередного приближ. в методе скорейшего спуска. Направление наибольшей скорости убывания функционала в точке задается вектором .(2) Этот вектор наз. еще вектором невязок сист. для приближения . Точка находится на поверхности уровня и вектор невязок ортогонален этой поверхности уровня в точке . Будем искать минимум функц-ла на множ. точек , где числовой параметр t³0. При этом для функц-ла имеем , т.е. задача минимизации функц-ла на направлении наибольшей скорости его убывания сводится к нахождению минимума ф. одного переменного. Соотв. знач. числового параметра определ. из усл. равенства нулю производной

.

Подставляя сюда выражение для , получаем ур. . Отсюда (3)

Очередное приближение в методе скорейшего спуска выч-ся по ф-ле (4). В методе скорейшего спуска нужно задать нач. приближ. к решению сист. (1) и по расчетным форм. (2), (3), (4) вычислять очередные приближения до получения решения с требуемой точностью.

Теорема. Если м-ца A вещественная, сим-ая и полож. определенная, то последовательные приближения , построенные по методу покоорд. спуска, сходятся к решению сист. при любом нач. приближении со скоростью геометрич. прогрессии.

Степенной метод решения частичной проблемы собств. знач.

Пусть собст. знач. матр. удовл. нер-ам . Будем считать также, что матрица обладает полной сист. собств. векторов. Возьмем произв-ый вектор , разл. его по сист. собст-х вект. и обр. последовательность векторов по правилу (1)

При этом получаем:

,…, .

Компоненты векторов посл-ти можно представить в виде.

(2)

Найдем выражение для отношения компонент соседних векторов в последовательности (1)

Так как ,отсюда имеем.

(3)

В сист. методе построенная посл. (1) прекращается, когда с заданной точн. для всех и отнош. будет одинаковым, тогда , а за собств. вектор можно принять , где .