Рассмотрим задачу Коши 
, 
(1) и 
(2). На 
введем равномерную сетку 
, 
, 
. Линейные многошаговые методы задаются соотношением
, 
(3). Для начала вычислений по формуле (3) необходимо знать разгонные значения. 
. Значение 
берется из (2), остальные 
определяются посредством одношагового метода соответствующего порядка точности.
Числа 
и 
в (3) будем называться параметрами метода (3). При 
(3) будем явным методом, а при 
– неявным методом.
Пусть 
точное решение задачи (1), (2). Погрешность метода (3), как правило, удовлетворяет оценке
где 
. В основу построения многошаговых методов (3) (т.е. выбора 
и 
) положим понятие алгебраического порядка точности. Будем говорить, что метод (3) имеет алгебраический порядок точности, равный 
, если он является точным для любого многочлена степени . Если – многочлен степени , то 
, т.е. 
.
Для построения метода (3) алгебраического порядка точности равного , будем поочередно подставлять в (3) функции вида: 
. При 
. В силу (1) 
. Далее 
, необходимо чтобы выполнялось 
точно, поэтому при подстановке функции 
будем иметь соотношение 
(4)
Таким образом, условие (1) является необходимым и достаточным для того, чтобы метод (3) был точен для любого многочлена нулевой степени. Положим теперь 
. Подставляя эти соотношения в (3) будем иметь: 
. Последнее соотношение перепишем так:
.
В силу (4), последнее равенство запишем в виде:
(5)
Таким образом, для того, чтобы метод (3) имел алгебраический порядок точности, равный 1, необходимо и достаточно, чтобы его параметры удовлетворяли условиям (4) и (5). Продолжая этот процесс, получим соотношение 
(6)
Т.е. для того, чтобы метод (3) имел алгебраический порядок точности равный необходимо и достаточно, чтобы его параметры удовлетворяли (4), (5), а при 
еще и (6). Соотношение (4) и (5) (или (4),(5),(6)) представлял собой систему линейных алгебраических уравнений, которая в общем случае может иметь не единственное решение. Поэтому, ряд параметров метода (3), имеющий алгебраический порядок точности равный , будут свободными. Т.е. ими можно распорядиться, например, для повышения алгебраического порядка точности или повышения устойчивости, либо чтобы сделать метод (3) явным.
Пример. Пусть (3) имеет вид: 
(7). Обозначим 
. В данном случае условия (4) и (5) таковы 
. Поэтому (7) можно переписать в виде 
(8).
Метод (8) точен для любого многочлена первой степени и содержит 1 свободных параметр 
. Например, если положить , то получим явный метод, который является методом Эйлера. Однако, например можно выбрать и таким образом, чтобы метод (8) был точен для любого многочлена второй степени. Действительно, будем подставлять в (8) функцию: 
. В данном случае:
(9). Перепишем (9) в виде: 
(10)
Приведем в (10) подобные слагаемые:
.
А (8) приобретает вид: 
.
