Мног. наилучших равномерных приближений. Примеры

Рассм. пр-во - непрерывных на ф. Пусть . Будем рассм. задачу аппроксимации ф. f мног. степени n. Если степень n не фиксир., то ф. f можно с любой точностью приблизить к соотв. мног. более точно справедлива следующая теорема.

Теорема Веерштрасса. и что

Если число n –фиксировано, то ф. f уже нельзя приблизить с любой точностью к мног. однако для любой ф. степени n, такой что , где берётся по всевозможным мног. степени n. Такой мног. наз. мног. наилучшего равномерного приближения или Чебышевским приближением. Отметим, что не существует общего алгоритма построения мног. однако для построения этого мног. можно использовать след. утв.:

Теорема Чебышева: Для того, чтобы мног. степени n был мног. наилучшего равномерного приближения для ф. f необх. и достат., чтобы на существовали по крайней мере n+2 точки в кот. где .

Другими словами, теорема говорит о том, что в точках поочерёдное отклонение ф. f от мног. достигает наиб. знач. При этом точки наз. точками Чебышевского альтернанса.

Пример1. Будем аппроксимировать ф. f мног. нулевой степени . Положим .

Положим . Покажем, что в этом случае мног. есть мног. наилучшего равномерного приближения. Имеем

А точки в кот. f(x)=m и f(x)=М образуют Чебышевский альтернанс.

Пример2. Пусть и явл. выпуклой. Будем аппроксимировать ф. f мног. .

Составим разность Пусть С – точка экстремума ф. (очевидно, что такая точка существует, причём ). Потребуем, чтобы точки а,с,в в указанном порядке образ. Чебышевский альтернанс. В этом случае будем иметь две сист. ур.:

Относительно неизвестных Е, с, .Заметим, что в данных сист. через Е обозначено , а 4-ое ур. каждой из сист. есть усл. того, что точка С – точка экстремума ф. .

Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.

Пусть - линейное нормир. пр-во и в нем задана последов. линейно независимых элем. . Рассм. множ. линейных комбинаций

, где - числовые коэфф.

Будем аппроксимировать ф. f ф. т.о., что (1)

При этом наз. эл-ом наилучшего приближения.

Теорема. В ЛНП элемент наилучшего приближения всегда существует.

ЛНП наз. строго нормированным, если из усл. следует, что , где число.

Сплайны.

Сплайн - ф. - кусочно-полиномиальная ф., определ. на [a;b], имеющ. на нем некот.число непрерывных произв-ых. В выч. практике исп-тся кубические сплайны(к.с.)- сплайн опр-ся с помощью мног. 3-ей степени. Рассм. интерполяц-ый к.с.(и.к.с.) для ф. f(x), непрер. на [a;b].

На [a;b] сетка: a=x₀<...<x_N=b (1),обознач.

И.к.с для f(x) и данного набора узлов (1)-ф. S(x),удовл. усл.:

1) на каждом сегменте [x_i-1;x_i],i=1,..,N, S(x) -мног. 3-ей степ.

2) S(x), ее первая и вторая производные непрер. на [a;b];

3) 4) –усл. интерполирования.

4) задаются граничные усл.

Теорема. Для любой непрерывной ф. f(x) при любом наборе узлов (1) и.к.с S(x) сущ-ет и явл. единственным.