М_Д предст. собой способ построения невырожденного преобр., приводящего матрицу 
к форме Фрабениуса 
:
Найдем характеристический мног. 
матрицы . Имеем:
Т.о., 
,т.е. в первой строке матрицы стоят коэфф. характ-ого мног. М_Д заключается в построении посл-ти матриц 
. Рассм. первый шаг этого метода, в кот. строятся невырожденные преобр., приводящие матрицу
к матрице 
. Будем считать, что все операции корректны. На первом этапе поделим 
столбец матрицы на элемент 
, т.е. проводим вычисления по форм.: 
(1)
Полученный столбец умножим на элемент 
и прибавим к 
столбец для 
, 
. Т.е. вычисления проводим по форм.
, 
, , (2)
В результате указанных преобр. по форм. (1),(2) получим матрицу 
. Рассм. матрицу
Форм. (1),(2) можно записать в матрицу в виде так: 
. Так же заметим, что в результате указанных преобр. последняя строка матрицы 
совпадает с последней строкой с матрицей .
Непосредственно проверкой убеждаемся, что
Построим матрицу 
. (3)
Здесь вычисления проводим по форм.:
, , , 
(4)
, 
(5)
Из форм. (4) видно,что при умножении матрицы на матрицу 
меняется только строка. Таким образом, на первом шаге построена невырожденное преобр. (3) такое, что последняя строка матрицы совподает с последней строкой матрицы . Переходим к построению матрицы матрицы 
. 
столбец этой матрицы делим на элемент и продолжаем указанный процесс. В результате получ. матрицу 
, у кот. 
и строки совпадают с матрицей , и т.д. На последнем шаге будет построена матрица 
, т.е. будет построено преобр. 
приводящее матрицу к форме Фрабениуса.
Выше рассмотрено так наз. регулярный случай, т.е. случай, когда все 
. Имеет место два нерегулярных случая.
I. Пусть 
,но существует 
,что 
(т.е. в 
строке матрицы 
существует ненулевой элемент, располож. левое элемента 
). Тогда в матрице поменяем местами столбцы 
и 
. Рассм. матрицу
Перестановка в матрице 
местами столбцов 
и 
представляет собой умножение матрицы на матрицу 
справа.
Заметим что обратной перестановкой столбцов востанавл. исходный вид матрицы, поэтому 
.
Рассм. матрицу 
(6). При умножении некоторой матрицы на матрицу слева, у исходной матрицы меняются строки с номерами и местами (но не изменяется строка 
).
Т.о. в рассм. нерегулярном случае выполн. преобр. (6), кот. будет невырожденным. После этого для матрицы 
имеем регулярный случай.
II. Пусть 
и кроме этого 
. В этом случае матрица примет следующую структуру: 
Характ. мног. 
т.е. исходная задача сведена к задаче построения преобр. подобия, приводящего матрицу 
, к форме Фрабениуса, причем порядок этой матрицы меньше порядка исходной матрицы.
