Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения

М_Д предст. собой способ построения невырожденного преобр., приводящего матрицу к форме Фрабениуса :

Найдем характеристический мног. матрицы . Имеем:

Т.о., ,т.е. в первой строке матрицы стоят коэфф. характ-ого мног. М_Д заключается в построении посл-ти матриц . Рассм. первый шаг этого метода, в кот. строятся невырожденные преобр., приводящие матрицу

к матрице . Будем считать, что все операции корректны. На первом этапе поделим столбец матрицы на элемент , т.е. проводим вычисления по форм.: (1)

Полученный столбец умножим на элемент и прибавим к столбец для , . Т.е. вычисления проводим по форм.

, , , (2)

В результате указанных преобр. по форм. (1),(2) получим матрицу . Рассм. матрицу

Форм. (1),(2) можно записать в матрицу в виде так: . Так же заметим, что в результате указанных преобр. последняя строка матрицы совпадает с последней строкой с матрицей .

Непосредственно проверкой убеждаемся, что

Построим матрицу . (3)

Здесь вычисления проводим по форм.:

, , , (4)

, (5)

Из форм. (4) видно,что при умножении матрицы на матрицу меняется только строка. Таким образом, на первом шаге построена невырожденное преобр. (3) такое, что последняя строка матрицы совподает с последней строкой матрицы . Переходим к построению матрицы матрицы . столбец этой матрицы делим на элемент и продолжаем указанный процесс. В результате получ. матрицу , у кот. и строки совпадают с матрицей , и т.д. На последнем шаге будет построена матрица , т.е. будет построено преобр. приводящее матрицу к форме Фрабениуса.

Выше рассмотрено так наз. регулярный случай, т.е. случай, когда все . Имеет место два нерегулярных случая.

I. Пусть ,но существует ,что (т.е. в строке матрицы существует ненулевой элемент, располож. левое элемента ). Тогда в матрице поменяем местами столбцы и . Рассм. матрицу

Перестановка в матрице местами столбцов и представляет собой умножение матрицы на матрицу справа.

Заметим что обратной перестановкой столбцов востанавл. исходный вид матрицы, поэтому .

Рассм. матрицу (6). При умножении некоторой матрицы на матрицу слева, у исходной матрицы меняются строки с номерами и местами (но не изменяется строка ).

Т.о. в рассм. нерегулярном случае выполн. преобр. (6), кот. будет невырожденным. После этого для матрицы имеем регулярный случай.

II. Пусть и кроме этого . В этом случае матрица примет следующую структуру:

Характ. мног. т.е. исходная задача сведена к задаче построения преобр. подобия, приводящего матрицу , к форме Фрабениуса, причем порядок этой матрицы меньше порядка исходной матрицы.