Ур. с одним неизвест. имеет след. общий вид 
,(1), где 
– ф., заданная на всей числовой оси или на конечном ее отр.
Теорема. Если ф. непрерывна на 
и принимает на концах этого отр. знач. разных знаков, то ур. (1) имеет внутри отр. хотя бы один корень.
Док. Обозначим 
. Пусть построены отр. 
, удовл. усл.1) 
; 2) 
;
3) 
.
Рассм. построение очередного отр. 
Найдем середину отр. 
: 
(2) и вычислим 
. Если 
, то утвержд. теоремы справедливо.
Пусть 
. Положим 
, если 
и 
в противном случае. Очевидно выполнение равенства 
(3). Т.к. последов. 
не убывает и ограничена сверху, то она имеет предел 
. Из (3) следует, что и 
. Поскольку 
, то 
. Отсюда и из непрерывности ф. получаем 
. Теорема доказана.
Метод решения ур. (1), построенный при док-ве теоремы наз. методом бисекции или методом половинного деления отр.
Метод простой итерации.
Пусть на 
задано ур. в виде 
. (4)
Метод простой итерации для ур. (4) имеет расчетную форм. 
. (5)
Теорема. Пусть ур. (4) имеет корень 
и существует такое 
, что на отр. 
производная ф. 
существует, непрерывна и по модулю строго меньше единицы: 
. Тогда метод простой итерации (5) сходится при 
.
Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.
Квадратический характер сходимости метода касательных (Ньютона). Пусть на задано ур. в виде 
. (1) Будем считать, что на ур. (1) имеет корень и производные 
непрерывны на отр. и сохраняют знак. Введем в рассм. ф. 
, кот. непрер. на и не обращ. на нем в нуль. При этих усл. ур. 
(2) будет равносильно на ур. (1). Ур. (2) имеет вид , где 
. Возьмем 
. Тогда ур. (2) приобретает вид 
. (3)
Запишем расчетные форм. метода простой итерации для ур. (3) 
. (4)
Построенный метод решения ур. (1) с расчетными форм. (4) наз. методом хорд.
Исследуем сходимость метода хорд. Проводя дифф. в (3), получаем 
. (5) Используя разложение в ряд Тейлора, имеем 
. Положив в последнем равенстве 
, выразим остаточ. член форм. Тейлора. После подстановки в (5) и применении к знаменателю в (5) формулу конечных приращений Лагранжа, получим
.
Отсюда имеем оценку 
, (6), где 
. Оценка (6) показывает, что если взять 
достаточно близким к корню , то будет выполняться неравенство 
. В силу непрерывности производной, существует 
- окр. точки отр. , где выполняются усл. теоремы о сходимости метода простой итерации.
Возьмем теперь 
. Тогда ур. (2) приобретает вид 
. (7)
Запишем расчетные форм. метода простой итерации для ур. (7) 
(8)
Построен. метод решения ур. с расчетными ф-ми (8) наз. методом Ньютона (касательных). Исследуем сх-ть метода Ньютона. Проводя диф-е в (7) получаем 
. Метод Ньютона имеет квадратич. хар-р сх-ти. Действительно, из (8) имеем 
. (9) Используя разложение в ряд Тэйлора 
находим 
. Заменяя в (9) правую часть полученным выражением, приходим к формуле 
и оценке 
, где 
.
