Метод бисекции и простой итерации решения уравнений с одним неизвестным

Ур. с одним неизвест. имеет след. общий вид ,(1), где – ф., заданная на всей числовой оси или на конечном ее отр.

Теорема. Если ф. непрерывна на и принимает на концах этого отр. знач. разных знаков, то ур. (1) имеет внутри отр. хотя бы один корень.

Док. Обозначим . Пусть построены отр. , удовл. усл.1) ; 2) ;

3) .

Рассм. построение очередного отр. Найдем середину отр. : (2) и вычислим . Если , то утвержд. теоремы справедливо.

Пусть . Положим , если и в противном случае. Очевидно выполнение равенства (3). Т.к. последов. не убывает и ограничена сверху, то она имеет предел . Из (3) следует, что и . Поскольку , то . Отсюда и из непрерывности ф. получаем . Теорема доказана.

Метод решения ур. (1), построенный при док-ве теоремы наз. методом бисекции или методом половинного деления отр.

Метод простой итерации.

Пусть на задано ур. в виде . (4)

Метод простой итерации для ур. (4) имеет расчетную форм. . (5)

Теорема. Пусть ур. (4) имеет корень и существует такое , что на отр. производная ф. существует, непрерывна и по модулю строго меньше единицы: . Тогда метод простой итерации (5) сходится при .

Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.

Квадратический характер сходимости метода касательных (Ньютона). Пусть на задано ур. в виде . (1) Будем считать, что на ур. (1) имеет корень и производные непрерывны на отр. и сохраняют знак. Введем в рассм. ф. , кот. непрер. на и не обращ. на нем в нуль. При этих усл. ур. (2) будет равносильно на ур. (1). Ур. (2) имеет вид , где . Возьмем . Тогда ур. (2) приобретает вид . (3)

Запишем расчетные форм. метода простой итерации для ур. (3) . (4)

Построенный метод решения ур. (1) с расчетными форм. (4) наз. методом хорд.

Исследуем сходимость метода хорд. Проводя дифф. в (3), получаем . (5) Используя разложение в ряд Тейлора, имеем . Положив в последнем равенстве , выразим остаточ. член форм. Тейлора. После подстановки в (5) и применении к знаменателю в (5) формулу конечных приращений Лагранжа, получим

.

Отсюда имеем оценку , (6), где . Оценка (6) показывает, что если взять достаточно близким к корню , то будет выполняться неравенство . В силу непрерывности производной, существует - окр. точки отр. , где выполняются усл. теоремы о сходимости метода простой итерации.

Возьмем теперь . Тогда ур. (2) приобретает вид . (7)

Запишем расчетные форм. метода простой итерации для ур. (7) (8)

Построен. метод решения ур. с расчетными ф-ми (8) наз. методом Ньютона (касательных). Исследуем сх-ть метода Ньютона. Проводя диф-е в (7) получаем . Метод Ньютона имеет квадратич. хар-р сх-ти. Действительно, из (8) имеем . (9) Используя разложение в ряд Тэйлора находим . Заменяя в (9) правую часть полученным выражением, приходим к формуле и оценке , где .