Лекции.Орг


Поиск:




Составные квадрат. форм. средних прямоугол., трапеций, парабол и оценка их погрешн




Как видно из выражения , погрешн. квадрат. форм. средних прямоугол. есть величина третьего порядка относительно длины отр. интегрир. Т.о., при большой длине отр. интегрир. погрешн. указан. квадрат. форм. также может быть большой.На введем равномерн. сетку с шагом . Интеграл по всему отр. равен сумме интегралов по частич. отр. Применяя квадрат. форм. средних прямоугол. в случае четного к частич. отр. , имеем

.

Полученную квадрат. форм. (1) наз. составной квадрат. форм. средних прямоугол.

Для погрешн. составной квадрат. форм. средних прямоугол. получаем

.

Учитывая, что и , отсюда следует искомое равенство . (2)

Используя квадрат. форм. трапеций при интегрир. по частич. отр. , имеем

Получен. квадрат. форм. (3)

наз. составной квадрат. форм. трапеций.

Для погрешн. составной квадрат. форм. трапеций получаем

.

Т.к. и , то искомая погрешн. представл. в виде . (4)

Применим теперь при четном n к интегрир. на частич. отр. квадрат. форм. парабол. Тогда

. Получ. квадр. форм. (5) наз. составной квадрат. форм. парабол (Симпсона).

Найдем выражение для погрешн. расчетной форм. (3).

Учитывая, что и , отсюда следует искомое равенство

Как видно из выражений, получ. для остаточ. членов , погрешн. составных квадрат. форм. можно сделать достаточно малой за счет выбора меньшего шага сетки h. При этом подынтеграл. ф. должна быть достаточно гладкой на .

 

Квадрат. форм. Гаусса

Опр. Говорят, что квадрат. форм.

(1)

имеет алгебраическую степень точности m, если она явл. точной для любого мног. степени m и существует мног. степени , для кот. квадрат. форм. не явл. точной.

Квадрат. форм. наивысшей алгебраической степени точности наз. квадрат. форм. Гаусса (при этом n считается фиксированным). Квадрат. правило имеет алгебраическую степень точности не ниже n тогда и только тогда, когда оно явл. интерполяц. Следовательно, коэфф. квадрат. правил Гаусса определ. форм.

. (2)

Т.о., остается найти оптимал. набор узлов, при кот. интерпол. квадрат. форм. будет иметь наивысшую алгебраическую степень точности. Последняя, равна .

Лемма. Если квадрат. правило (1) имеет алгебраическую степень точности , то мног. степени ортогонален с весом на любому мног. меньшей степени.

Д-во. Так как квадратурное правило (1) является точным для любого многочлена степени и ,то при имеем , что док-ет лемму.

Из леммы следует, что для построения квадрат. правила алгебраической степени точности необходимо найти мног. степени , кот. был бы ортогонален любому мног. меньшей степени.

Лемма Если почти всюду на , то приведенный мног. степени , ортогональный на с весом любому мног. меньшей степени, существует и явл. единств. При этом все его корни простые и находятся на .

Лемма Если узлами интерпол. квадрат. форм. (1) явл. нули ортогонального мног. , то квадрат. форм. точна для любого мног. степени .

Теорема. Если почти всюду на , то существует квадрат. правило (1) наивысшей алгебраической степени точности .

Д-во. Существов. квадрат. правила (1) алгебр. степени точности непосредственно следует из лемм. Остается доказать, что нельзя построить квадрат. правило (1), точное для любого мног. степени . Для мног. степени имеем знач. интеграла и знач. квадрат. суммы


19. Квадрат. форм. Гаусса с постоянной весовой ф. Рассм. интеграл , (1) где -достат. гладкая ф. Любой конечный отр. интегрир. линейным преобр. приводится к . Поскольку в данном случае весовая ф. , то квадрат. правило наивысшей алгебр. степени точности (2) существует. Его узлами явл. корни мн-на , ортогонального мн-нам меньшей степени с весом 1 на [-1;1].

Обозначим . Очевидно, и . Возьмем произвольный мног. степени . Используя услов. ортогональности и проводя интегрир. по частям, получим

.

Продолжая процесс интегрир. по частям получим

Отсюда для, следует, что . Используя произвольность мног. , последовательно получаем далее .

Т.о., мног. степени , производные кот. определ. форм. имеет корни , каждый кратности n. Следовательно, этот мног. представл. в виде . Для искомого ортогонального мног. в результате получим выражение . (3)

Ортогональные мног., определ. форм. (3) наз. мног. Лежандра. В случае выбора константы по правилу будут получаться приведенные мног. В практике вычислений для мног. Лежандра использ. форм. Родрига .(4)

При этом получается квадрат нормы и рекуррентная форм. .(5)

По форм.(3) находим . По форм. (4) находим . Отсюда определяем последовательно

и . Построим несколько квадрат. форм. Гаусса вида (2).

При из ур. получаем один корень , и один коэфф. . Приходим к квадрат. форм. , имеющей наивысшую алгебраическую степень точности 1.

При из ур. получаем два корня , и два коэфф. и . Приходим к квадрат. форм. , имеющей наивысшую алгебр-скую степень точности 3.

Форм. для вычисления коэфф. квадрат. форм. (2) может быть преобразована к виду (6)

При из ур. получаем три корня и три коэфф. и . Приходим к квадрат. форм. , имеющей наивысшую алгебраическую степень точности 5.






Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-04-03; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 421 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Своим успехом я обязана тому, что никогда не оправдывалась и не принимала оправданий от других. © Флоренс Найтингейл
==> читать все изречения...

866 - | 779 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.01 с.