Общая задача интерполирования ОМ формулир. след. образом. Для ф. 
и набора попарно неравных узлов 
требуется построить ОМ 
по сист. ф. 
так, чтобы знач. ОМ и его производных до определ. порядка в узлах совпадали с соотв. знач. ф. и ее производных:
.
Ограничимся рассмотр. здесь случая, когда 
, т.е., общей задачей интерпол. алгебраическими М. Для ф. и набора попарно неравных узлов требуется построить М 
, удовлетв. условиям
. (1)
Рассм. разность 
, где 
- ИМ Лагранжа для по узлам . Т.к. 
при 
, то 
. (2)
Исходная задача сведена к построению М 
.
Продифф. равенство (2): 
. Для узлов 
, в кот. заданы знач. произв. 
отсюда имеем 
. (3)
Дифф. равенство (2) дважды, получим
Отсюда для узлов , в кот. заданы знач. произв. 
, имеем
Далее, приходим к задаче постр. М 
степени 
, удовл. усл. 
. (4)
Для построения М по услов. (4) применяем тот же прием, что и при построении М по усл. (1). Повторяя процесс, приходим к задаче построения ИМ по его знач. в узлах, где в (1) задавались знач. старшей производной. Последняя задача решается единственным образом и, следовательно, искомый мн. имеет степень 
и является единственным.
Мн. , удовлетв. усл. (1), наз. мн. Эрмита для ф. по набору попарно неравных узлов с соотв. кратностями 
узлов.
Проведем построение мн. Эрмита для случая, когда все узлы имеют одинаковую кратность, равную двум. Усл. (1) при этом принимают вид
. (5)
Используя форм. (2) и (3), получим 
;
.
Т.о., построен искомый ИМ Эрмита
. (6)
Проведем в выражении (6) алгебраические преобр. Учтем, что 
и
Тогда формула (6) примет вид
(7)
Рассм. выражение в фигурных скобках 
. Это мн. степени 
. При этом 
Следов., рассматриваемый мн. представляется в виде 
. (8)
Полагая в (8) 
, имеем 
и 
. Из условия
находим
. Подставляя получ. выражения коэффициентов в (8), имеем
.
Заменим в (7) мн. 
в фигурных скобках найденным выражением, тогда для мн. Эрмита с узлами кратности 2 получим окончательное выражение
. (9)
12. Некорректность задачи численного диф-я в пр-ве ℂ. Примеры. Пусть ф. 
задана на 
табл. знач. 
и надо найти приближ. знач. ее производной в некоторой точке этого отрезка.
Решение поставленной задачи можно провести с использованием ИМ Лагранжа 
порядка n, кот. приближает ф. с погрешн. 
. Дифференцируя равенство 
, (1) m раз имеем погрешность 
. (2)
Т.о., производная мн. 
приближает производную ф. 
с погрешн. 
, т.е., приближенное равенство 
(3) имеет погрешность .
Покажем, что в общем случае малая разность между двумя ф. на отр. еще не означает, что малой будет и разность их производных на этом отр. В качестве примера рассм. ф. 
ℂ и 
. Найдем отклонение 
от 
. Расстоян. между этими ф. в пр. ℂ равно 
а расстояние между их производными в этом пр. 
. Некорректность в пр. ℂ задачи численного дифференц. заключ. в том, что из сходимости в этом пр. последовательности ф. не следует, что последовательность производных этих ф. также будет сходиться.
Примеры формул численного дифференцирования
В качестве примера рассм. использование для интерполирования в начале таблицы ИМ Ньютона:
.
Дифф. приближенное равенство 
будем иметь:
В случае 
форм. приобретает вид 
. Для второй производной получаем соотв. 
и 
.
Третья производная мн. третьей степени явл. константой 
.
При неравноотстоящих узлах для построения форм. численного дифференц. используются ИМ Лагранжа
и интерпол. форм. Ньютона с РР
.
