Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2

Общая задача интерполирования ОМ формулир. след. образом. Для ф. и набора попарно неравных узлов требуется построить ОМ по сист. ф. так, чтобы знач. ОМ и его производных до определ. порядка в узлах совпадали с соотв. знач. ф. и ее производных:

.

Ограничимся рассмотр. здесь случая, когда , т.е., общей задачей интерпол. алгебраическими М. Для ф. и набора попарно неравных узлов требуется построить М , удовлетв. условиям

. (1)

Рассм. разность , где - ИМ Лагранжа для по узлам . Т.к. при , то . (2)

Исходная задача сведена к построению М .

Продифф. равенство (2): . Для узлов , в кот. заданы знач. произв. отсюда имеем . (3)

Дифф. равенство (2) дважды, получим

Отсюда для узлов , в кот. заданы знач. произв. , имеем

Далее, приходим к задаче постр. М степени , удовл. усл. . (4)

Для построения М по услов. (4) применяем тот же прием, что и при построении М по усл. (1). Повторяя процесс, приходим к задаче построения ИМ по его знач. в узлах, где в (1) задавались знач. старшей производной. Последняя задача решается единственным образом и, следовательно, искомый мн. имеет степень и является единственным.

Мн. , удовлетв. усл. (1), наз. мн. Эрмита для ф. по набору попарно неравных узлов с соотв. кратностями узлов.

Проведем построение мн. Эрмита для случая, когда все узлы имеют одинаковую кратность, равную двум. Усл. (1) при этом принимают вид

. (5)

Используя форм. (2) и (3), получим ;

.

Т.о., построен искомый ИМ Эрмита

. (6)

Проведем в выражении (6) алгебраические преобр. Учтем, что и

Тогда формула (6) примет вид

(7)

Рассм. выражение в фигурных скобках . Это мн. степени . При этом

Следов., рассматриваемый мн. представляется в виде . (8)

Полагая в (8) , имеем и . Из условия

находим

. Подставляя получ. выражения коэффициентов в (8), имеем

.

Заменим в (7) мн. в фигурных скобках найденным выражением, тогда для мн. Эрмита с узлами кратности 2 получим окончательное выражение

. (9)

 

12. Некорректность задачи численного диф-я в пр-ве ℂ. Примеры. Пусть ф. задана на табл. знач. и надо найти приближ. знач. ее производной в некоторой точке этого отрезка.

Решение поставленной задачи можно провести с использованием ИМ Лагранжа порядка n, кот. приближает ф. с погрешн. . Дифференцируя равенство , (1) m раз имеем погрешность . (2)

Т.о., производная мн. приближает производную ф. с погрешн. , т.е., приближенное равенство (3) имеет погрешность .

Покажем, что в общем случае малая разность между двумя ф. на отр. еще не означает, что малой будет и разность их производных на этом отр. В качестве примера рассм. ф. ℂ и . Найдем отклонение от . Расстоян. между этими ф. в пр. ℂ равно

а расстояние между их производными в этом пр. . Некорректность в пр. ℂ задачи численного дифференц. заключ. в том, что из сходимости в этом пр. последовательности ф. не следует, что последовательность производных этих ф. также будет сходиться.

Примеры формул численного дифференцирования

В качестве примера рассм. использование для интерполирования в начале таблицы ИМ Ньютона:

.

Дифф. приближенное равенство будем иметь:

В случае форм. приобретает вид . Для второй производной получаем соотв. и .

Третья производная мн. третьей степени явл. константой .

При неравноотстоящих узлах для построения форм. численного дифференц. используются ИМ Лагранжа

и интерпол. форм. Ньютона с РР

.