Источники и классификация погрешностей. Неустранимая и вычислительная погрешность.
В вычислительной математике, как правило, рассматривается реш. корректно поставленных задач. Это значит, что исходная задача имеет! реш., кот. в некоторой обл. непрерывно зависит от исходных данных задачи. На практике значения почти всех величин задаются и определяются приближенно. Из-за этого получается погрешность. Провести реш. задачи нужно так, чтобы погрешность полученного реш. не превышала допустимую.
При этом заданы значения угла 
и гипотенузы 
, полученные в результате измерения. Точные знач. исходных величин обозначим соответственно 
и 
. Таким образом, точное значение площади выражается формулой 
Знач. площади через заданные знач. исходных величин определ. выражением 
. Разность 
наз. неустранимой погрешн. Эта погрешн. обусловлена неточным заданием исходных данных. Для вычисления значений тригонометр. функций воспользуемся их разложен. в ряд Тэйлора, тогда придем к равенству 
Разность 
наз. погрешн. метода. Погрешн. метода можно сделать достаточно малой. В нашем примере математику для этого нужно взять в разложениях достаточно большое значение 
. Фактически вычисленное знач. площади обозначим 
. Разность 
наз. вычислительной погрешн. Уменьшить вычислит. погрешн. можно за счет использования ЭВМ с большей разрядной сеткой, а также за счет программирования операций над числами с большой разрядностью. Полная погрешн. 
складыв. из трех указанных видов погрешн.: 
.
Неустраним. погрешность. Обозначим 
– приближ. знач. величины, 
- ее точное знач. Погрешн. приближ. величины опред. равенством 
.
Абсолют. погрешн. определяется неравенством 
.
Величину 
наз. относительной погрешн. приближ. числа 
. Если 
, то в качестве относител. погрешн. можно взять число 
.
Значащими цифрами числа наз. все его ненулевые цифры и нули, кот. находятся между значащими цифрами или явл. представителями сохраненного десятичного разряда.
Значащая цифра приближ. числа наз. верной, если абсолют. погрешн. числа не превосходит половины единицы разряда, в котором эта цифра находится.
Зам. Абсолют. и относит. погрешн. записывают с точностью до одной или двух значащих цифр.
Зам.. Абсолют. и относит. погрешности округляют только с избытком.
Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность ОИМ.
Интерполиров. или интерпол. – один из наиболее часто применяемых на практике методов приближ. ф. Задача интерполиров. ставится след. образом.
Рассм. пр. 
и фун. 
, определ. на отр[a;b]. Задана последов. линейно независимых ф. 
. Образуем линейную комбинацию 
(1)
Линейную комбинацию вида (1) наз. ОМ(обобщ. многоч) по сист. ф. 
.
Сист. ф. 
наз. сист. Чебышева на отр. 
, если любой нетривиальный ОМ по этой сист. обращается в нуль на отр. не более чем в n точках.
В задаче интерполиров. ф. 
нужно приблизить ОМ (1) так, чтобы знач. ф. и ОМ совпадали в задан. точках: 
.(2)
ОМ 
, удовлетв. условиям (2), наз. ИОМ. При этом ф. 
, для кот. строится ИОМ., наз. интерполир. ф., а точки 
наз. узлами интерполяции. Равенства (2) будем наз. интерполяц. условиями.
Теорема 
и! ИОМ. Для того чтобы для 
ф. 
при наборах попарно неравных узлов 
существ. ИОМ. по сист. ф. 
, необх. и достат., чтобы эта сист. ф. была сист. Чебышева на отр. 
. При этом ИОМ будет единственным.
ИМ Лагранжа.
Сист. ф. 
, (1) в силу основн. теоремы алгебры, явл. сист. Чебышева на любом отр. Для любой ф. по этой сист. ф. при любом наборе попарно неравных узлов 
! ИОМ, кот. может быть записан в виде 
(2) где ОМ 
не зависят от ф. 
.Зафикс. j и рассм. ф. , приним. в узлах значения 
Для этой ф. имеем ИОМ 
. Т.к. выполн. интерполяц. услов., то 
. Т.о., для ОМ 
имеет место свойств. 
(3) Если построить ОМ , удовл. свойств. (3), то тем самым будет построен ИОМ (2). Для сист. ф. 
(1),очевидно, многочл. 
облад. свойств. (3). Т.о., по сист. ф. (3) ИМ получается в виде 
(4). (4) наз. ИМ Лагранжа для ф. по 
. Обозн. 
имеем 
и 
.С использ. многочл. 
ИМ Лагранжа примет вид 
.
Схема Эйткина
Обозначим через 
интерполяционный многочлен, построенный для функции 
по узлам 
В схеме Эйткена сначала для заданного значения аргумента 
выбирается ближайший табличный узел среди всех табличных узлов 
Пусть это будет табличный узел 
. Этот табличный узел берется в качестве узла интерполяции 
. Соответствующее табличное значение функции 
обозначим через 
. Это табличное значение можно считать начальным приближением к искомому значению функции в точке 
.
Далее из оставшихся табличных узлов 
снова выбирается ближайший к 
. Это будет или 
или 
Найденный очередной ближайший узел обозначается 
,а соответствующее табличное значение обозначается 
Затем проводятся вычисления по формуле 
(2) Здесь в числителе дроби находится определитель квадратной матрицы второго порядка.
Определяемый формулой (2) многочлен 
имеет первую степень и является интерполяционным для с узлами интерполяции и .
Проверьте самостоятельно, что действительно выполняются условия интерполяции 
.
Будем считать тождественными обозначения 
и 
Тогда формула (2) может быть переписана в виде
.
Вычисленное значение является вторым приближением к искомому значению . Это значение получается линейной интерполяцией по формуле (2).
На следующем шаге схемы Эйткена из оставшихся табличных узлов находится ближайший к заданному значению и обозначается через (берется в качестве) 
. Новое приближение к искомому значению вычисляется по формуле
(3)
Перед этим предварительно должно быть вычислено 
, которое вычисляется по формуле, аналогичной формуле (2), в которой все индексы должны быть увеличены на 1. Легко видеть, что при этом будут выполняться условия интерполяции 
, 
.
Докажите самостоятельно, что для многочлена второй степени 
, определяемого формулой (3) выполняются интерполяционные условия
, 
, 
.
Если значения и 
совпадают в пределах требуемой точности, то вычисления прекращаются. В качестве окончательного результата берется значение .
В противном случае выбирается еще один узел интерполяции 
и проводятся вычисления по формуле 
(4)при i=3 и =1,2,3.
Формула (4) является основной вычислительной формулой схемы Эйткена. Формула (2) получается из нее при i=k=1. Формула (3) получается из (4) при i=k=2.
