Ћекции.ќрг
 

 атегории:


ƒеформации и разрушени€ дорожных одежд и покрытий: ƒеформации и разрушени€ могут быть только покрытий и всей до≠рожной одежды в целом.   первым относит...


ѕостроение спирали јрхимеда: —пираль јрхимеда- плоска€ крива€ лини€, которую описывает точка, движуща€с€ равномерно вращающемус€ радиусу...


ќЅЌќ¬Ћ≈Ќ»≈ «≈ћЋ»: ѕрошло более трех лет с тех пор, как —овет ћинистров ———– и ÷ентральный  омитет ¬ ѕ...

‘ормула полной веро€тности



 

ѕусть некоторое событие может произойти вместе с одним из несовместных событий , составл€ющих полную группу событий. ѕусть известны веро€тности этих событий и условные веро€тности наступлени€ событи€ при наступлении событи€ :

.

 

“еорема. ¬еро€тность событи€ , которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений веро€тностей каждого из этих событий на соответствующие им условные веро€тности наступлени€ событи€ .

ѕример 5. ¬ двух €щиках содержатс€ по 20 деталей, причем в первом 17 стандартных деталей, а во втором 15 стандартных деталей. »з второго €щика наудачу извлечена одна деталь и переложена в первый €щик. Ќайти веро€тность того, что наудачу извлеченна€ деталь из первого €щика, окажетс€ стандартной.

 

¶ ќпыт можно разбить на два этапа: первый - перекладывание детали,

второй - выбор детали.

 

√ипотезы:

- переложена стандартна€ деталь;

- переложена нестандартна€ деталь.

, .

, .

. Ш

 

ѕример 6. ќдин из трех стрелков производит два выстрела. ¬еро€тность попадани€ в цель при одном выстреле дл€ первого стрелка равна 0,4, дл€ второго Ц 0,6, дл€ третьего Ц 0,8. Ќайти веро€тность того, что в цель попадут два раза.

m

¬еро€тность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна .

¬еро€тности того, что один из стрелков, производ€щих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:

 

- дл€ первого стрелка:

- дл€ второго стрелка:

- дл€ третьего стрелка:

 

»скома€ веро€тность равна:

 

. Ш

 

‘ормула Ѕайеса (формула гипотез)

ѕусть имеетс€ полна€ группа несовместных гипотез с известными веро€тност€ми их наступлени€ . ѕусть в результате опыта наступило событие , условные веро€тности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны веро€тности .

“ребуетс€ определить какие веро€тности имеют гипотезы относительно событи€ , то есть условные веро€тности .

 

“еорема. ¬еро€тность гипотезы после испытани€ равна произведению веро€тности гипотезы до испытани€ на соответствующую ей условную веро€тность событи€, которое произошло при испытании, деленному на полную веро€тность этого событи€.


 

Ёта формула называетс€ формулой Ѕайеса.

 

 

.

ѕример 7.ƒетали, изготовл€емые цехом завода, попадают дл€ проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. ¬еро€тность того, что деталь попадет к первому контролеру равна 0,6, ко второму равна 0,4. ¬еро€тность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером равна 0,94, а вторым Ц 0,98. √одна€ деталь при проверке была признана стандартной. Ќайти веро€тность того, что ее проверил первый контролер.

 

¶ √ипотезы: - деталь проверил первый контролер;

- деталь проверил второй контролер.

—обытие - деталь признана стандартной.

 

 

 

 ак видно до испытани€ , а после . Ш

 

ѕовторение испытаний

‘ормула Ѕернулли

 

≈сли производитс€ некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие , и веро€тность по€влени€ этого событи€ в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытани€ называютс€ независимыми относительно событи€ .

ƒопустим, что событие наступает в каждом испытании с веро€тностью . ќпределим веро€тность того, что в результате испытаний событие наступило ровно раз.

Ёту веро€тность в принципе можно посчитать, использу€ теоремы сложени€ и умножени€ веро€тностей, как это делалось в рассмотренных выше примерах. ќднако, при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислени€м.

“аким образом, возникает необходимость разработать общий подход к решению поставленной задачи. Ётот подход реализован в формуле Ѕернулли. (якоб Ѕернулли (1654 Ц 1705) Ц швейцарский математик)

 

ѕусть в результате независимых испытаний, проведенных в одинаковых услови€х, событие наступает с веро€тностью , а противоположное ему событие с веро€тностью .

ќбозначим Ц наступление событи€ в испытании с номером . “ак как услови€ проведени€ опытов одинаковые, то эти веро€тности равны.

≈сли в результате опытов событие наступает ровно раз, то остальные раз это событие не наступает. —обытие может по€витьс€ раз в испытани€х в различных комбинаци€х, число которых равно количеству сочетаний из элементов по . Ёто количество сочетаний находитс€ по формуле:

 

¬еро€тность каждой комбинации равна произведению веро€тностей:

 

 

ѕримен€€ теорему сложени€ веро€тностей несовместных событий, получаем формулу Ѕернулли:

 

 

‘ормула Ѕернулли важна тем, что справедлива дл€ любого количества независимых испытаний, то есть того самого случа€, в котором наиболее четко про€вл€ютс€ законы теории веро€тностей.

 

ѕример 8. ѕо цели производитс€ 5 выстрелов. ¬еро€тность попадани€ дл€ каждого выстрела равна 0,4. Ќайти веро€тность того, что в цель попали не менее трех раз.

m

¬еро€тность не менее трех попаданий складываетс€ из веро€тности п€ти попаданий, четырех попаданий и трех попаданий.

“ак как выстрелы независимы, то можно применить формулу Ѕернулли веро€тности того, что в испытани€х событие в веро€тностью наступает ровно раз.

 

 

¬ случае п€ти попаданий из п€ти возможных:

 

„етыре попадани€ из п€ти выстрелов:

 

“ри попадани€ из п€ти:

 

ќкончательно, получаем веро€тность не менее трех попаданий из п€ти выстрелов:

. Ш

 





ƒата добавлени€: 2016-03-27; просмотров: 3763 | Ќарушение авторских прав


–екомендуемый контект:


ѕохожа€ информаци€:

ѕоиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.007 с.