Свойства функции распределения

 

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1].

 

 

2. – неубывающая функция.

 

при

 

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале.

 

4. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице.

 

5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.

Таким образом, не имеет смысла говорить о каком – либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой – либо интервал, что соответствует большинству практических задач.

Пример 21. Случайная величина задана интегральной функцией распределения:

 

Найти вероятность того, что в результате испытания величина примет значение принадлежащее интервалу .

 

m . �

Плотность распределения

 

Функция распределения полностью характеризует случайную величину, однако, имеет один недостаток. По функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси.

 

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется функция f(x) – первая производная от функции распределения .

 

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает, как часто появляется случайная величина в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.

 

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на всей оси , а плотность распределения существует везде, за исключением может быть, конечного числа точек.

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

 

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.

 

 

Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения, записанном выше.

 

Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью , кривой распределения и прямыми и .

 

Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле: