Лекции.Орг


Поиск:




Теория случайных процессов




проф. А.В. Булинский 1/2 года, 3 курс, отделение математики

1. Случайные элементы и их распределения. Случайный процесс как семейство случайных элементов и как одно измеримое отображение.

2. Построение последовательности независимых действительных случайных величин, имеющих заданные функции распределения.

3. Примеры случайных процессов (случайные блуждания, процесс восстановления, модель Крамера-Лундберга, эмпирические меры, пуассоновская случайная мера).

4. Конечномерные распределения процесса. Формулировка теоремы Колмогорова о согласованных распределениях (доказательство необходимости условий). Условия согласованности мер на пространствах  в терминах характеристических функций.

5. Критерий существования процесса с независимыми приращениями в терминах характеристических функций приращений. Пуассоновский и винеровский процессы.

6. Гауссовские процессы. Построение действительного гауссовского процесса, имеющего заданные функцию среднего и ковариационную функцию.

7. Построение броуновского движения по функциям Шаудера и последовательности независимых гауссовских величин: а) две леммы; б) построение на [0,1]; в) построение на [0,¥].

8. Недифференцируемость (с вероятностью 1) траекторий броуновского движения в каждой точке .

9. Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.

10. Марковское и строго марковское свойства броуновского движения.

11. Принцип отражения. Распределение . Формулировка закона повторного логарифма.

12. Слабая сходимость вероятностных мер. Теорема А.Д. Александрова.

13. Сохранение слабой сходимости под действием непрерывных отображений. Формулировка теоремы Прохорова о плотности семейства мер. Принцип инвариантности (формулировки теорем Донскера, Прохорова, Боровкова, Скорохода). Формулировка теоремы Штрассена.

14. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы. Примеры. Разложение Дуба.

15. Дискретный вариант формулы Танака. Доказательство соотношения , .

16. Теорема Дуба о свободном выборе.

17. Неравенство Крамера-Лундберга.

18. Марковские процессы с дискретным и непрерывным временем. Примеры.

19. Доказательство того, что действительный процесс с независимыми приращениями является марковским.

20. Построение марковской цепи по начальному распределению и переходным вероятностям. Пуассоновский процесс как цепь Маркова.

21. Марковская переходная функция. Однородные марковские процессы.

22. Эргодическая теорема для цепей Маркова с непрерывным временем.

23. Стационарное распределение. Формулы Эрланга (описание модели).

24. Дифференциальные уравнения Колмогорова (прямые и обратные).

25. Интеграл по ортогональной случайной мере (cлучаи конечной и s-конечной структурной меры).

26. Теорема Карунена.

27. Теорема Герглотца. Формулировка теоремы Бохнера-Хинчина.

28. Стационарные в широком смысле процессы, их спектральное представление. Эргодичность в L2(W).

29. Спектральная плотность. Процесс скользящего среднего как процесс, обладающий спектральной плотностью.

30. Регулярные и сингулярные процессы. Формулировка теоремы Вольда и теоремы Колмогорова (критерий регулярности в терминах спектральной плотности).

31. Уравнение Ланжевена. Процесс Орнштейна-Уленбека.

32. Интеграл Ито и его свойства.

33. Понятие о стохастических дифференциальных уравнениях и сильных решениях.

33. Формула Ито (без доказательства) и пример ее использования.

Литература

1. Афанасьева Л.Г., Булинская Е.В. Случайные процессы в теории массового обслуживания и управления запасами. М., изд-во МГУ, 1987.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М., Наука, 1972.

3.* Бриллинджер Д. Анализ временных рядов. М., Мир, 1979.

4. Вентцель А.Д. Курс лекций по случайным процессам. М., Наука, 1982.

5.* Вентцель Е.С., Овчаров А.В. Прикладные задачи теории случайных процессов. М., Наука, 1992.

6. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М., Наука, 1972.

7. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М., Наука, 1989.

8.* Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М., Наука, 1965.

9.* Дынкин Е.Б., Юшкевич А.П. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М., Наука, 1968.

10.* Дуб Дж. Вероятностные процессы. М., Физматгиз, 1953.

11.* Ито К. Вероятностные процессы. М., Наука, 1962.

12. Климов Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика. М., изд-во МГУ, 1981.

13.* Козлов М.В. Элементы теории вероятностей в задачах и примерах. М., изд-во МГУ, 1991.

14. Крамер Г., Лидбеттер Дж. Стационарные случайные процессы. М., Мир, 1970.

15. Крылов Н.В. Лекции по случайным процессам (части 1 и 2). М., изд-во МГУ, 1987.

16.* Ламперти Дж. Случайные процессы. Киев, Вища школа, 1983.

17.* Прохоров А.В., Ушаков А.Ф., Ушаков В.А. Задачи по теории вероятностей. М., Наука, 1989.

18. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. М., Наука, 1987.

19.* Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. М., Наука, 1989 (второе издание).

20. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайные процессы. М., изд-во МГУ, 1992.

21. Ширяев А.Н. Вероятность. М., Наука, 1990 (второе издание).

22. Ширяев А.Н. Случайные процессы (лекции для студентов 3 курса). М., изд-во МГУ, 1972.

23. Хида Т. Броуновское движение. М., Наука, 1988.

24. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М., Физматлит, 2003.

Примечание: знаком * отмечена дополнительная литература.

 

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2018-10-14; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 577 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Слабые люди всю жизнь стараются быть не хуже других. Сильным во что бы то ни стало нужно стать лучше всех. © Борис Акунин
==> читать все изречения...

751 - | 708 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.