Марковские случайные процессы

       Случайный процесс, эволюция которого после любого фиксированного момента времени t и до момента времени t является условно независимой при известном состоянии процесса в момент времени t (в настоящем), называется марковским случайным процессом, а свойство условной независимости «будущего» от «прошлого» при заданном «настоящем» называется марковским свойством или свойством марковости.

       Определение 36. Пусть  – случайный процесс, конечномерные функции плотности вероятности которого  заданы для всех  : . Если при этом условная функция плотности вероятности

     ,                                            (1.26)

где  – состояние в данный момент;  – состояние в будущем;  – прошлые состояния, то случайный процесс называется марковским процессом.

Пример 4. Пример марковского процесса, используемого в модели расчета риска столкновений воздушных судов.

Рассмотрим полет воздушного судна, с которым может произойти катастрофа, которую мы рассматриваем здесь как мгновенное событие. Введем некоторую случайную функцию , описывающую состояние воздушного судна

Покажем, что  – марковский случайный процесс.

Если в момент времени , то прошлое – нормальный полет, не дает никакой информации о том, произойдет катастрофа в будущем или нет. Прошлое не информативно для будущего. Если же в момент времени , то есть на текущий момент факт катастрофы имеет место, то для описания состояния в будущем неважна информация из прошлого о том, когда эта катастрофа произошла.

       Определение 37. Пусть на вероятностном пространстве  задан случайный процесс  со значениями в измеримом пространстве,  – пространство состояний. Для  введем -алгебру прошлого  (все реализации случайного процесса , где ) и будущего  (определена на реализациях после момента времени t). Случайный процесс называется марковским процессом, если  и любого события А из -алгебры прошлого и В из -алгебры будущего имеет место марковское свойство:

.

       При таком определении прошлое и будущее симметричны, т.е. переходя в обратное время  при переходе к отраженному процессу , марковское свойство сохраняется.

Контрольные вопросы для самопроверки

1. Каким условиям удовлетворяют случайные процессы, стационарные в узком смысле?

2. Можно ли сказать, что процесс, стационарный в узком смысле, стационарен и в широком смысле?

3. Чему равна производная от математического ожидания стационарного в узком смысле процесса?

4. Какой случайный процесс называется нормальным?

5. Что такое характеристическая функция?

6. Приведите пример двумерного гауссового процесса.

7. Какой процесс называется процессом с независимыми приращениями?

8. В чем отличие независимых и ортогональных приращений?