Комментарии к вычислению параметров уравнения регрессии.

1. Расчетные формулы (2) и (3) параметров а и b уравнения линейной регрессии получены, следуя методу наименьших квадратов (МНК). В основе МНК –требование: сумма квадратов отклонений всех точек исходных данных от графика уравнения y = b x + a должна быть наименьшей из всех возможных. Это обеспечивается выбором параметров a и b..

2. Графики на рисунке 1: пунктирная прямая – по интуиции и сплошная прямая – по уравнению регрессии, - могут отличаться друг от друга достаточно заметно, и чем меньше значение коэффициента корреляции, тем заметнее.

3. При вычислениях параметра b примите к сведению, что числитель формулы (2) совпадает с числителем формулы (1), а знаменатель – с подкоренным выражением одного из квадратных корней той же формулы.

     4. Зависимость у(х), получаемую в виде уравнения регрессии, не следует сразу рассматривать как описание причинно-следственной связи. Большая неосторожность трактовать одну из исходных величин как причину, а вторую как следствие лишь потому, что первая оказалась обозначенной буквой х, а вторая – буквой у.

5 Ценность уравнения регрессии часто состоит в том, что для любого значения х уравнение дает возможность вычислить  значение среднестатистической нормы показателя у.

А иногда представление результатов исследований в виде уравнения регрессии и его графика – это «элегантная математическая упаковка» вашей интеллектуальной продукции. Ведь обсуждать уравнения и их графики несравненно проще и убедительнее, чем таблицы выборок.

6. Публикуя уравнение регрессии, Вы обязательно должны указать диапазоны значений х и у исходных данных. И применять уравнение следует именно в этих диапазонах.

Применение уравнения за пределами диапазонов значений исходных данных называется ЭКСТРАПОЛЯЦИЕЙ. Она  иногда все же используется  как способ получения осторожного прогноза.

 

 

Выводы по расчетной работе. (*)

 

1. Установлено, что у детей в возрасте до 14 лет, больных псориазом, существует значительная положительная линейная связь между концентрацией в крови микроэлементов: железо (величина х) и цинк (величина у). Коэффициент корреляции r = 0,55

2. Эта связь описывается уравнением линейной регрессии у = 0,23х + 9,12

где х (мкмоль/л) – концентрация Fe

  у (мкмоль/л) – концентрация Zn

3. Данное уравнение получено на основе результатов анализов у больных в возрасте от 2 до 14 лет для диапазонов значений концентраций:

по Fe: от 0 до х = 41 мкмоль/л

по Zn: от 0 до у = 20 мкмоль/л                                              (**)

 

 

Анализ сопряженности качественных признаков. Введение.

       В медицине большую ценность могут представлять качественные признаки.

Они не имеют строго количественной меры. Но и качественные признаки нуждаются в оценках уровня выраженности качеств. Подобные оценки необходимы и при описании фактов, и при их анализе.

        К простейшим шкалам для качественных признаков относится номинальная шкала. В номинальной шкале имеются некоторые общепринятые градации, и тогда оцениваемый признак можно, по преобладанию, отнести к одной из этих градаций (номинировать в этой градации). Например, темперамент можно обсуждать в номинационной шкале с четырьмя градациями: холерик, сангвиник, флегматик, меланхолик.

        Предельно простой частный случай номинационной шкалы – альтернативная (дихотоническая; ди – два). В ней – всего две градации: наличие какого-то качества и отсутствие этого качества: да или нет; болен или не болен; быть или не быть…

         Измерения, в обсуждаемом смысле, на более высоком уровне обеспечивают порядковые шкалы качественных признаков. Такие шкалы сближают идеологии измерений качественных и количественных признаков. Так, в широко применяемых ранговых шкалах имеется упорядоченная возрастающая последовательность уровней оценки качественного признака. Пример порядковой шкалы: пятибальная шкала оценки знаний.

        Сопряженность качественных признаков – это свойство, которое можно уподобить корреляционной связи признаков, имеющих количественное измерение. В обоих случаях имеется в виду, что при изменении одного из признаков обнаруживается устойчивая тенденция к изменению другого. И в обоих случаях установление подобной связи еще не означает обнаружение причинно-следственной связи между признаками.

       В двух следующих разделах приведен пример анализа сопряженности двух альтернативных признаков, с последующими пояснениями и рекомендациями. Метод  разработан К. Пирсоном.

 

    

Анализ сопряженности качественных признаков. Пример. (*)  

Пример ситуации. Было проведено исследование влияния занятий спортом на утомляемость к концу рабочего дня молодых выпускников вуза. Обследовалась группа выпускников численностью n = 200 человек. Каждому предлагалась анкета с вопросами:

1. Занимаетесь ли Вы спортом систематически?

2. Испытываете ли Вы состояние психического или физического утомления к концу рабочего дня?

По обоим вопросам ожидаемые ответы: «да» или «нет». Результаты обследования приведены ниже, в табл. 1.

Использованы следующие обозначения:

признак А – отношение к спорту:

    да, занимаюсь – символ А

    нет, не занимаюсь – символ

признак В – утомляемость:

    да, утомляюсь – символ В

    нет, не утомляюсь – символ

 

  Таблица 1. К расчету показателей сопряженности

.

Занятия спортом  (А) Утомление (В)	A (+)	(-)	∑
B (+)	a=36	b=124	a+b=160
(-)	c=28	d=12	c+d=40
∑	a+c=64	b+d=136	n=200

       

Расчеты параметров сопряженности

1. Коэффициент ассоциации (связи):

    

                                                                          (1)                                            

 

 

2. Коэффициент контингенции (сопряженности):

                (2)                                            

    

Проверка статистической значимости параметров

1. Предполагаем, что ассоциация (связь) в данных табл. 1 отсутствует, и проверяем нулевую гипотезу Н₀: < Q = 0 >. Проверка - по критерию Пирсона. Контрольное значение критерия Пирсона:

          

 

При числе степеней свободы L = 1 на уровне значимости α = 0.05 из таблицы приложения 1 имеем критическое значение критерия Пирсона:

              = 3.84

Поскольку  > , нулевая гипотеза отбрасывается, и результат Q = - 0.779  признается статистически значимым  на уровне значимости α = 0.05.

2. Предполагаем, что в данных табл. 1 контингенция (т.е. сопряженность) отсутствует. Проверяем нулевую гипотезу Н₀: < Ф = 0 >. Контрольное значение критерия Пирсона:

Т.к. число степеней свободы и принятый уровень значимости не изменились, критическое значение критерия Пирсона - прежнее:

        = 3.84           

     Поскольку  > , нулевая гипотеза отбрасывается, и результат Ф = - 0.423 признается статистически значимым  на уровне значимости α = 0.05.

     Фактически же полученные значения Q и Ф статистически значимы и на уровне значимости α = 0.001, на котором = 10.83.                          (**)