Рекомендации по проверке гипотезы об однородности.

 

1. Упорядоченные выборки – это столбцы (3) в таблицах 1 и 2. В нашем примере наименьшим (верхним) числом в единой последовательности оказался элемент 0,43 выборки 1; затем, в порядке возрастания, оказался элемент 0,44 выборки 2, и он записан уже справа от вертикальной линии. Дальше пошла большая группа, состоящая исключительно из элементов выборки 1, и все они записаны слева от вертикальной линии. Повторяющиеся числовые значения размещены на горизонтальных уровнях – строчках (для экономии места). Например, элемент 0,60 встретился дважды, а 0,65 – трижды.

Заполняя последовательно строчку за строчкой, надо внимательно следить, чей элемент (из выборки 1 или 2) будет следующим в порядке общего возрастания, и куда его занести: слева от вертикальной линии, если он из (1), или справа, если он – из (2).

В нашем примере элемент 0,79 встретился как в выборке (1), так и в выборке (2). Таких совпадений может быть много. Совпадающие элементы попарно «взаимопоглащают друг друга». Они как-то выделяются,; например, обводятся овалами, и из дальнейшего анализа будут исключены. Совпадающие элементы, принадлежащие к одной выборке, друг друга не «самопоглощают».

Завершив составление единой последовательности, обязательно пересчитайте число элементов слева и справа от вертикальной линии. Должно быть n₁ = n₂ = 25.

2. Горизонтальными линиями единая последовательность разделена на группы элементов одной выборки, идущих друг за другом без внедрения элементов другой выборки. Такие группы могут состоять из одного элемента, а могут быть и многочисленными. «Самопоглотившиеся» элементы во внимание не принимаются.

3. Численность элементов в группах указана в узких столбцах: слева от единой последовательности – это численность непрерываемых групп  выборки 1, справа –  то же для выборки 2. Самопоглотившиеся пары элементов по-прежнему не учитываются.

Уточненные объемы выборок – это объемы за вычетом самопоглотившихся элементов. В нашем примере самопоглотилась одна пара элементов (0,79). Объемы уточненных выборок оказались: n^/₁  = 24; n^/₂ = 24. Таковы и суммы численностей групп в левом и правом узких столбцах. При всех обстоятельствах должно выполняться равенство: n^/₁  = n^/₂.

4. Следующий этап работы – подсчет инверсий. В английском inverse – обратный. В данном случае инверсия – это такие нарушения в единой последовательности, когда последовательность элементов одной выборки нарушается (прерывается) элементами другой выборки.

Инверсии 1®2 – это нарушения порядка следования элементов выборки 2. Нарушители – элементы выборки 1; их появление в единой последовательности, как бы преждевременно. Инверсий 1®2 не было бы, если бы в единой последовательности, просматривая ее сверху вниз, мы сначала увидели бы только вереницу элементов выборки 2, и лишь потом пошли бы элементы выборки 1.

Инверсии 2®1 – это нарушения порядка следования элементов выборки 1. Нарушители – элементы выборки 2. Не будь этих инверсий, мы, опять-таки, просматривая единую последовательность сверху вниз, увидели бы сначала вереницу элементов только выборки 1, и лишь потом дружно пошли бы элементы выборки 2.

5. Пояснения к подсчету количества инверсий даем по таблице 11 нашего примера.

Движемся сверху вниз по левой половине таблицы.

Для верхней группы, численностью один элемент, инверсий нет.

Далее, для каждого элемента группы численностью 21 элемент имеется одна инверсия: группа из одного элемента (0,44) в правой половине таблицы. Итого получается 21×1 = 21 инверсия.

Ниже в левой половине следует группа численностью два элемента. Для каждого из них инверсиями являются, в правой половине таблицы, верхняя группа численностью один элемент (0,44) и группа из трех элементов. Итого для каждого элемента группы число инверсий равно 1 + 3 = 4; общее число инверсий по этой группе: 2×4 = 8.

Еще ниже в левой половине таблицы остается один элемент, но он «самопоглощен», и потому не учитывается.

Суммарное число инверсий 2®1 для элементов выборки 1 получается

å U_2®1 = 21+8 = 29

6. Инверсии 1®2 для выборки 2 (правая половина таблицы 11) следующие.

Для группы численностью 3 элемента: для каждого элемента инверсиями являются 1 + 21 = 22 элемента левой половины. Итого для всей этой группы число инверсий: 3×22 = 66.

Ниже, для каждого элемента группы численностью 20 элементов (но не 21) инверсными являются 1 + 21 + 2 == 24 элемента левой выборки. Общее число инверсий для элементов этой группы: 20×24 = 480

Суммарное число инверсий 1®2 получается:

å U_1®2 = 1 + 66 + 480 = 547.

7. Расчет контрольного значения U-критерия по формулам А и Б должен дать одинаковые результаты: насколько элементы выборки 1 смешались с элементами выборки 2, настолько же элементы выборки 2 смешались с элементами первой выборки.

 

  Таблица 12. Значения коэффициента Z

Уровень значимости a	0.10	0.05	0.01
Коэффициент Z	1.645	1.960	2.570

 

 

       Выводы по работе № 1 (вариант 2). (*)

 

 

Методами математической статистики проанализированы данные кардиоинтервалографии в двух состояниях пациента:

состояние 1 – до введения обзидана;

состояние 2 – через 40 минуть после введения обзидана.

Данные о состояниях пациента представлены двумя выборками объемом по 25 элементов.

По числовым характеристикам выборок и по гистограммам были сформулированы предварительные выводы об изменении состояния пациента.

     Проверка однородности выборок по критерию Уилкоксона показала, что выборки неоднородны, и с доверительной вероятностью р = 95% в состоянии пациента произошли значимые изменения, но конкретизировать их характер не представилось возможным. Предварительные выводы не подтверждены, но и не опровергнуты.                                                                         (**)

 

Элементы корреляционного и регрессионного анализа.

 

 

Вторая расчетная работа в цикле «Математическая статистика» посвящена исследованию зависимости между двумя случайными величинами.

Как и в первой работе, наши пояснения и рекомендации соответствуют поэтапному решению задачи.Итак, приступаем.

 

 

Расчетная работа № 2.

(образец выполнения работы)

 

Исследование зависимости между случайными величинами.  (*)

 

Исходные данные: содержание микроэлементов – железа и цинка – в крови детей, больных псориазом, на разных стадиях лечения.

Данные предоставлены Т.В. Толмазовой (кафедра микробиологии СПбГПМА)

Обозначения:

х [мкмоль / л] - содержание железа

у [мкмоль / л] - содержание цинка

 

Таблица  1. Исходные данные и предварительные расчеты по ним.

i	xi	yi	xi yi	хi2	yi2
1	2	3	4	5	6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	3.5 26.7 8.2 8.2 24.45 40.8 16.25 24.5 8.2 40.8	12.3 21.6 13.2 8.15 17.15 13.2 8.15 20.0 6.6 17.2	44.28 576.72 108.24 66.83 419.32 538.56 132.44 490.0 54.12 701.76	12.96 712.89 67.24 67.24 597.80 1664.64 264.06 600.25 67.24 1664.64	151.29 466.56 174.24 66.42 306.25 174.24 66.42 400.00 43.56 295.84
å	201.7	137.55	3132.56	5718.96	2144.82

На рисунке 1 каждой паре чисел (x_i, y_i) соответствует точка на графике. Пунктиром проведен предполагаемый график зависимости y = f(x)

 

Концентрация цинка у [мкмоль/л]												22   20   18   16   14   12   10   8   6   4   2
			(3)
					(7)

                                0   4  8  12 16 20     24 28 32 36 40 44

Концентрация железа х [мкмоль/л]

 

Рис. 1                                                       (**)