Комментарии к расчету коэффициента корреляции.

1. Коэффициент корреляции r – величина, имеющая область возможных значений – интервал [-1; 1]; или, что то же самое, | r | £ 1.

2. Если, нанеся исходные данные на график, Вы видите такое расположение точек, что с ростом величины х вторая переменная – величина у – несмотря на разброс точек, в среднем возрастает – то такому положению дел соответствует положительное значение коэффициента корреляции. Если же увеличение одной из переменных отслеживается уменьшением другой, то коэффициент корреляции будет величиной отрицательной.

Мы говорим о возрастании или убывании лишь как о тенденциях, которые угадываются на фоне большого разброса точек исходных данных. Подобные тенденции обнаруживаются лишь при наличии достаточно большого исходного материала. На нашем графике рисунка 1 мы выделили точки (3) и (7) исходных данных. Если бы были только эти две точки, можно было бы думать, что с ростом х величина у уменьшается, и это было бы ошибкой.

3. Простейшая математическая форма описания подобных тенденций – это описание возрастания или убывания по закону прямой линии. Такие связи называются линейными связями (именно так; линейными, а не прямолинейными)

     4. Коэффициент корреляции говорит  о наличии линейной связи между двумя переменными, и ничего не говорит о наличии или отсутствии связей более сложных, нелинейных.

5. Пунктирная прямая, проведенная на рисунке 1, отражает наше интуитивное понимание характера зависимости y = f (x). Чем ближе коэффициент корреляции  к единице, тем легче провести такую усредняющую прямую. Ну, а при r = +1 или r = -1 провести прямую не составило бы никакого труда: прямая прошла бы через все точки, или, что то же самое, все точки оказались бы на одной прямой.

6. Связь между переменными х и у, которую мы обсуждали как тенденцию, как изменения «в среднем», называется корреляционной. При | r | = 1 корреляционная линейная связь становится функциональной связью. Функциональная зависимость между переменными - частный случай корреляционной связи.

7. Чем ближе к нулю значение коэффициента корреляции, тем линейная связь слабее.

8. Вычислив значение коэффициента корреляции, Вы можете оценить силу связи между   х  и  у в сложившихся наименованиях этой «силы» с помощью табл. 2.

 

Таблица  2.Характеристики линейной корреляционной связи

Значения модуля коэффициента корреляции	Качественная характеристика линейной связи
| r | £ 0,3 0,3 < | r | £ 0,5 0,5 < | r | £ 0,7 0,7 < | r | £ 0,9 0,9 < | r | £ 1	слабая умеренная значительная сильная очень сильная

 

 

9. Отсутствие линейной связи между х и у не исключает существования более сложных, нелинейных связей.

10. Наличие связи между величинами х и у, более сложной, чем линейная, можно ощутить по характеру расположения точек (х; у) исходных данных. Приведем пример ситуации, когда наличие нелинейной связи весьма ощутимо. На рисунке 2 точками нанесены данные о частоте пульса у детей различного возраста, имевших врожденно пониженную частоту сердечных сокращений (ЧСС). Данные предоставлены А.Я. Волковым (кафедра факультетской педиатрии СПбГПМА). Видно, что с увеличением возраста ЧСС уменьшается, но

 

Частота пульса; уд/мин

110     105     100     95     90     85     80     75     70

                                               0 2 4 6 8 10 12 14 16

                                           Возраст; лет                                   Рис. 2

 

 

                      Уравнение линейной регрессии. (*)

Зависимость у(х) будем описывать уравнением регрессии y = a + b x,

здесь b – коэффициент регрессии, a – свободный член

                                                                          (2)

                                                                                   (3)

Вычисления:

 

Получено уравнение линейной регрессии у = 0,23х + 9,12

 

Таблица для построения графика этого уравнения по двум точкам:

 

х	у = 0,23х + 9,12
4 40	у = 0,23×4 + 9,12 = 10,04 у = 0,23×40 + 9,12 = 18,32

 

По этим данным построен график уравнения регрессии (сплошная прямая на рис. 1)

                                                                                                               (**)