Методами математической статистики

 

В работе анализируется случайная величина Т – кардиоинтервал. Его обозначения в двух состояниях пациента: Т₁  и Т₂ .

 

 

Исходные данные.

1) Выборка 1 значений Т₁; объем: n₁ = 25, до введения обзидана; см. табл. 1.

2) Выборка 2 значений Т₂; объем: n₂ = 25, через 40 минут после введения обзидана; см. табл. 2.

 

Таблица 1. Выборка 1.

(i)	T1.i	Упорядоченные T1.i	Класс j	DT1.j = T1.i -	DT1.i2 (c2)
1	2	3	4	5	6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25	0,51 0,71 0,65 0,64 0,62 0,64 0,66 0,62 0,55 0,46 0,43 0,60 0,60 0,65 0,59 0,45 0,48 0,65 0,66 0,79 0,56 0,54 0,58 0,71 0,61	0,43 0,45 0,46 0,48 0,51 0,54 0,55 0,56 0,58 0,59 0,60 0,60 0,61 0,62 0,62 0,64 0,64 0,65 0,65 0,65 0,66 0,66 0,71 0,71 0,79	1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5	-0,17 -0,15 -0,14 -0,12 -0,09 -0,06 -0,05 -0,04 -0,02 -0,01 0 0 0,01 0,02 0,02 0,04 0,04 0,05 0,05 0,05 0,06 0,06 0,11 0,11 0,19	0,0289 0,0225 0,0196 0,0144 0,0081 0,0036 0,0025 0,0016 0,0004 0,0001 0 0 0,0001 0,0004 0,0004 0,0016 0,0016 0,0025 0,0025 0,0025 0,0036 0,0036 0,0121 0,0121 0,0361
å	-----	14,96	-----	-----	0,1808

 

 

Таблица 2. Выборка 2.

 

(i)	T2.i	Упорядоченные T2.i	Класс j	DT2.j = T2.i -	DT2.i2 (c2)
1	2	3	4	5	6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25	0,83 0,72 0,68 0,75 0,74 0,44 1,10 0,70 0,76 0,75 0,78 0,72 0,67 0,85 0,72 0,79 0,83 0,87 0,72 0,76 0,78 0,74 0,74 0,84 0,78	0,44 0,67 0,68 0,70 0,72 0,72 0,72 0,72 0,74 0,74 0,74 0,75 0,75 0,76 0,76 0,78 0,78 0,78 0,79 0,83 0,83 0,84 0,85 0,87 1,10	1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5	-0,32 -0,09 -0,08 -0,06 -0,04 -0,04 -0,04 -0,04 -0,02 -0,02 -0,02 -0,01 -0,01 0 0 0,02 0,02 0,02 0,03 0,07 0,07 0,08 0,09 0,11 0,34	0,1024 0,0081 0,0064 0,0036 0,0016 0,0016 0,0016 0,0016 0,0004 0,0004 0,0004 0,0001 0,0001 0 0 0,0004 0,0004 0,0004 0,0009 0,0049 0,0049 0,0064 0,0081 0,0121 0,1156
å	-----	19,10	-----	-----	0,2663

 

Характеристики первого состояния:

Средневыборочное значение:

Дисперсия выборки:

Среднеквадратичное отклонение в выборке:

Средняя частота сердечных сокращений:

 Характеристики второго состояния:

Средневыборочное значение:

Дисперсия выборки:

 

                                           Среднеквадратичное отклонение в выборке:

Средняя частота сердечных сокращений:

                                                                                                                                                   (**)

 

        Указания к расчетам по таблицам 1 и  2.

1. Занести в столбец 2 таблиц значения кардиоинтервалов T_i и Т₂ из карты индивидуального задания. Значения кардиоинтервалов рекомендуется представлять с округлением до двух значащих цифр после запятой. Округление сопряжено с некоторой потерей точности (в данном случае – порядка 1%), но уменьшает трудоемкость вычислений примерно в полтора раза.

На всякий случай, округления иллюстрируем примерами:

0,528с» 0,530с = 0,53с;             0,632с» 0,630с = 0,63с;

0,725с» 0,730с = 0,73с;             1,095с» 1,100с = 1,10с

2. В столбце 3 разместить данные столбца 2 в порядке возрастания. Повторяющиеся значения T_i помещать одно под другим.

У Вас будет возможность убедиться, что с упорядоченными выборками работать удобнее, чем с неупорядоченными.

3. Вычислить сумму всех элементов столбца 3. Результат записать в этом же столбце, в нижней строке, обозначенной å (сумма).

4. Вычислить средневыборочные значения кардиоинтервалов и . Точность вычислений – две значащие цифры после запятой.

 Столбец 4 на данном этапе работы не заполняется; к нему предстоит вернуться позже. Переходите к столбцу 5.

Дальнейшие пояснения относятся к табл.1, но таковы же они и для табл.2, где будет  Т₂ вместо Т₁ , вместо , и т.п.  

5. Заполнить столбец 5 значениями разности между числами T_i столбца 3 и средневыборочным значением : DT_i = T_i - . В верхней половине столбца 5 значения DT_i отрицательные (поскольку здесь T_i < ), а в нижней части – положительные. Суммирование данных столбца 5 не предусмотрено, но может быть выполнено «факультативно» для самопроверки: сумма чисел столбца 5 должна быть равна нулю, или очень близка к нулю, если при вычислениях производились округления.

6. Заполнить столбец 6:  числа DT_i столбца 5 возвести в квадрат.

Целесообразно параллельное заполнение столбцов 5 и 6: вычисление D T_i, запись результата в столбец 5, и тут же – вычисление квадрата этого числа, с записью в столбец 6.

Для сохранения принятого уровня точности результатов анализа, значения DT_i² вычисляются с точностью до четырех значащих цифр после запятой.

7. Вычислить сумму элементов столбца 6. Результат записать в этом же столбце, в нижней строке å.

8. Вычислить значение дисперсии выборки D₁. Точность вычислений – четыре значащие цифры после запятой.

9. Вычислить значение среднеквадратичного отклонения s₁. Точность вычислений – две значащие цифры после запятой. (Возводя DT_i в квадрат, мы «уходим» на четыре значащие цифры после запятой, выполняя обратное действие – извлечение квадратного корня, - возвращаемся к прежнему уровню точности).

10. Вычислить значение средней частоты сердечных сокращений (ЧСС). Разумное округление результатов вычислений – до целочисленных значений количества сокращений в минуту.

11. Полученные результаты свести в таблицу 3 и провести их сравнительный анализ; пример – смотри ниже.

 

                       Характеристики выборок.                               (*)

Таблица 3.

Состояние пациента:	до введения абзидана	через 40 минут после введения абзидана
№ выборки	1	2
Средневыборочное значение кардиоинтервала	= 0,60с	=0,76с
Дисперсия выборки	D1 = 0,0075с2	D2 = 0,0111с2
Среднеквадратичное отклонение	s1 = 0,09с	s2 = 0,11с
Частота сердечных сокращений	(ЧСС)1 = 100 1/мин	(ЧСС)2 = 79 1/мин

 

Предварительные выводы по характеристикам выборок

.

1. В ходе обследования среднее значение кардиоинтервала  возросло ( > ), а ЧСС, соответственно, уменьшилась. Обнаружено увеличение среднего кардиоинтервала в /  = 0,76/0,60 = 1,27 раза. ЧСС уменьшилась в 1,27 раза.

2. В ходе обследования средневыборочная дисперсия возросла (D₂ > D₁). Обнаружено увеличение дисперсии в D₂ / D₁ = 0,0111/0,0075 = 1,49 раза. По-видимому, в состоянии 2 сердце пациента стало работать менее ритмично.    (**)                                                                                                                                                          

                Пояснения по предварительным выводам.

1. Если бы характеристики, представленные в таблице 3, были получены не по

выборкам, а по генеральным совокупностям, их можно было бы считать не предварительными, а окончательными. Но они получены по выборкам скромных объемов n₁ = n₂ = 25, и разумная степень доверия к ним и к результатам их сопоставления будет установлена математически.

2. ЧСС и средний кардиоинтервал  взаимно обратны: ЧСС ~ ;  ~ . Чем больше , тем меньше ЧСС, и наоборот. Таково же соотношение частоты и периода в теории колебаний.

3. Изменения дисперсии D отслеживаются изменениями среднеквадратичного отклонения s, но – в ослабленном числовом выражении: ведь s = , так что если дисперсия увеличится в 4 раза, то s тоже увеличится,  но   в  = 2 раза.

4. Указывая, во сколько раз изменилась (возросла или уменьшилась) та или иная величина, мы сравниваем два ее значения через дробь, подставляя в числитель большее из этих значений: количество раз (разов?) не может быть меньше одного раза! 

             Гистограмма: введение.

Характеристики выборок, сведенные в табл. 3, относятся к категории точечных характеристик, поскольку получена группа чисел, а всякому числу соответствует, в качестве геометрического образа, некоторая точка на числовой оси. Точечные характеристики отражают очень важную информацию о свойствах выборок, и при этом весьма лаконичны. Коротко и ясно!

Но существует и другая форма представления свойств выборок, основанная на интервальных оценках, т.е. на примыкающих друг к другу интервалах числовой оси и наглядной графической иллюстрацией того, в каких интервалах случайная величина встречалась чаще, в каких – реже, а в каких – вообще не наблюдалась. Подобные картинки называются гистограммами.

 Гистограммы являются украшением любого сообщения. Они информативны и наглядны. Навыки их построения Вам предстоит обрести. Необходимые подготовительные процедуры к построению гистограмм отражены в табл. 4.

Как выглядят гистограммы, видно на рис.1. ГИСТОГРАММА – столбчатая диаграмма – один из видов графического изображения статистического распределения случайной величины. Гистограмма представляет собой совокупность смежных прямоугольников с основаниями одинаковой протяженности. Основание прямоугольника соответствует некоторому диапазону значений случайной величины. Своей высотой ступени показывают:

1. в каких диапазонах значений случайная величина наблюдалась чаще, а в каких – реже.

2.) в каких диапазонах значений случайная величина будет наблюдаться чаще, а в каких - реже, если экспериментальное исследование данной случайной величины продолжить или повторить. В этом – прогностическая ценность гистограмм.

Но поскольку гистограмма строится по выборке, а не по генеральной совокупности, полного доверия к ней и к выводам по ней быть не должно. Если из той же генеральной совокупности взять повторную выборку того же объема и для нее тоже построить гистограмму, то эти две гистограммы будут похожи, но не идентичны, а при малых выборках они могут оказаться и не очень-то похожими друг на друга.

 

 

Таблица  4. К построению гистограмм                                             (*)

	Параметр	Выборка 1.		Выборка 2.
1	Объем выборки	n1 = 25		n2 = 25
2	Tmax	0,79с		1,10с
	Tmin	0,43с		0,44с
	Размах R = Tmax - Tmin	0.36c		0.66c
3	Количество классовых интервалов k» log2n	k1 = 5		k2 = 5
4	Ширина классовых интервалов:	h1 =  = 0.072c		h2 =  = 0.132c
5	Номер j класса	Границы классовых интервалов
	1 2 3 4 5	0,43 – 0,502 0,502 – 0,574 0,574 – 0,646 0,646 – 0,718 0,718 – 0,79	0,44 – 0,572 0,572 – 0,704 0,704- 0,836 0,836 – 0,968 0,968 – 0,11
6	Номер j класса	Частота nj попаданий в классы
	1 2 3 4 5	4       4       9       7         1			1       3     15       5        1
	Проверка:                 (å) = 25	(å) = 25			(å) = 25
7	Номер j класса	Относительная частота uj = nj / n
	1                     2                     3                     4                     5	0,16      0,16      0,36      0,28       0,04			0,04      0,12      0,60      0,20      0,04
	Проверка:                 (å) = 1	(å) = 1,00			(å) = 1,00
8	Номер j класса	Плотность вероятности
	1                      2                    3                    4                    5	2,22      2,22      5,00      3,89      0,56				0,30      0,91       4,55        0,52       0,30
	Проверка:                (å)×h = 1	13,89 × 0,072 = 1				7,58 × 0,132 = 1

Гистограммы.

Состояние 1

 

 

       6

 

      5

 

      4

      3

      2                                                                            

 

      1                                                                                                                                      Т₁; с                   

           0

                   0,4    0,5        0,6   0,7       0,8   0,9         1,0 1,1

Состояние 2

 

 

       6

 

      5

      4

 

      3

 

      2

 

      1                                                                                                                                       Т₂;с                   

          0

                   0,4    0,5        0,6   0,7       0,8   0,9         1,0 1,1   (**)

 

Пояснения к таблице 4.

1. В разделе 2 таблицы 4 значения T_max и T_min - это последний и первый элементы упорядоченной выборки табл. 1 или табл.2.

2.Размах R = T_max - T_min является простейшей мерой разброса данных в выборке. Дисперсия D – более «строгая» мера разброса.

3. В разделе 3 устанавливается количество классовых интервалов (классов), на которые будет разбит большой интервал R

 Схема разбивки интервала R:

                      классы

 

          1 2  3 4 5                     

                                                                        Т

       

              T_min                 T_max                            

R = T_max - T_min

 

 

Количество классов k = 5 соответствует рекомендательной формуле: k» log₂n, где n – объем выборки. Количество классов k – целое число. Знак «»» в приведенной формуле следует понимать как «равно, с округлением до ближайшего целого». В нашем примере принимается k = 5, поскольку log₂25 = 4,67» 5.

Однако на приведенную рекомендательную формулу для количества классов не следует молиться.. Встречаются ситуации, когда вместо рекомендуемых k = 5 приходится принимать, например, k = 3 в связи с малой «населенностью» отдельных классов.

4. Ширина h классового интервала в k = 5 раз меньше, чем размах выборки. Рекомендуем величину h вычислять с точностью до трех значащих цифр после запятой.

5. В разделе 5 границы классовых интервалов – это указание координат их начала и конца. Они устанавливаются пятью последовательными шагами h к значению Т; начиная от T_min. Вычисления начинаются от T_min и через пять шагов заканчиваются на T_max

5А. Теперь, зная границы классовых интервалов, необходимо заполнить столбцы 4  таблиц 1 и 2, указав в них для каждого элемента упорядоченной выборки номер j классового интервала (класса), в который этот элемент попадает.

6. В разделе 6 частота n_j – это количество элементов, попавших в каждый из пяти классов. Проще говоря, это число единиц, двоек, троек, и т.д. в столбце 4 таблицы 1 или 2.

В проверочной строке убедитесь, что нет потерявшихся или лишних элементов.

7. В разделе 7 значения частоты n_j предыдущего раздела переведены в относительные частоты. Для этого числа, полученные в разделе 6, делятся на n = 25. Ценность полученных при этом данных весьма велика: ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА СОБЫТИЯ и ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ – понятия очень близкие. Относительная частота, подсчитанная по генеральной совокупности – это вероятность. Или по-другому: вероятность приблизительно равна относительной частоте.

В проверочной строке убедитесь, что целое (единица) равно сумме ее дробных долей.

8. В разделе 8 осуществляется переход от значений относительной частоты (раздел 7) к значениям плотности вероятности как фундаментальной характеристики случайной величины. И снова арифметика очень простая: достаточно поделить значения относительной частоты предыдущего раздела на ширину h классового интервала.

В проверочной строке – требование (å f_j) × h = 1, что соответствует так называемому УСЛОВИЮ НОРМИРОВКИ. Смысл его – в следующем: вероятность того, что случайная величина (Т) принимает какое-нибудь из своих возможных значений (не важно, какое) в пределах интервала R, равна единице, как вероятность достоверного события.