вступительного экзамена по математике 21.07.1997 г.

В инженерно-технологическую академию

 

1. Решить уравнение

2. Решить неравенство

3. Решить уравнение

4. Решить уравнение

5. Найти все значения p, при которых уравнение  не имеет корней.

6. В конус вписана пирамида,  В основании пирамиды лежит треугольник с углами  и . Найти объем конуса.

 

Решения

 

1. Решить уравнение

 

Решение

 

Найдем область допустимых значений переменной:

.

Преобразуем уравнение. Для этого перенесем  из левой части уравнения в правую, чтобы получить в обеих частях уравнения неотрицательные выражения, а затем возведем обе части уравнения в квадрат.

,

. Правая часть уравнения неотрицательна при , что совпадает с областью допустимых значений переменной. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

.

 

Оба корня входят в область допустимых значений и являются решениями уравнения.

 

Ответ: .

 

2-й способ

 

Положим .

Подставим в уравнение, получим: u - v = 1.

Получим систему уравнений:

 

.

 

Ответ: .

 

2. Решить неравенство

 

Решение

 

Область допустимых значений: .

Заметим, что , т. е. выражения  и  - взаимно обратные. Из равенства  выразим .

Неравенство примет вид: .

Показательная функция с основанием  является возрастающей, значит, .

Квадратный трехчлен  имеет отрицательный дискриминант, равный D = -20 < 0, значит, при всех значениях  он принимает положительные значения и тогда, полученное неравенство равносильно неравенству:

.

 

Ответ: .

 

3. Решить уравнение

 

Решение

 

Область допустимых значений: .

Преобразуем уравнение: .

Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:

(1)  и (2)  - эта система корней не имеет.

 

Ответ: .

Внимание! Ошибочное преобразование!

 

, .

 

Область допустимых значений этого уравнения "сузилась" и стала равна промежутку: . В результате возможна потеря корней, что и произошло в данном случае.

 

Уравнение  корней не имеет, хотя данное уравнение, как установлено выше, имеет корень x = 5.

 

4. Решить уравнение

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, для чего используем следующие тригонометрические формулы:  и . Получим уравнение:

 

.

 

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

 

Ответ: .

 

5. Найти все значения p, при которых уравнение  не имеет корней.

 

Решение

 

В первую очередь, выясним, будет ли иметь решение уравнение, когда его первый коэффициент равен нулю:  Уравнение примет вид:  В этом случае уравнение корней не имеет, значит, значение  удовлетворяет условию задачи.

Теперь, в дальнейших рассуждениях, будем предполагать, что

Преобразуем уравнение. Для этого положим  получим уравнение

Полученное уравнение не будет иметь корней в двух случаях:

1-й случай, когда дискриминант уравнения отрицателен

2-й случай, когда уравнение имеет два отрицательных корня.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1-й случай. Найдем дискриминант и определим значения p, при которых он будет отрицателен:

 (см. рис. 73),

Рис. 73

 

 

2-й случай. Во-первых, уравнение должно иметь корни, что произойдет при

Во-вторых, оба корня должны быть отрицательными. Чтобы выяснить, при каких значениях p это произойдет, преобразуем это уравнение к приведенному:

 

По теореме Виета, произведение корней равно свободному члену  а их сумма второму коэффициенту с противоположным знаком:

Чтобы оба корня были отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы свободный член был положительным, а второй коэффициент, взятый с противоположным знаком - отрицательным. Получим систему:

Рис. 74

 (см. рис. 74).

Объединяя множества, полученные из первого и второго случаев, а также, помня, что при p = 10 уравнение также не имеет решений, получаем множество, при котором уравнение не имеет корней:

 

Ответ:

 

6. В конус вписана пирамида,  В основании пирамиды лежит треугольник с углами  и . Найти объем конуса.

 

Решение

 

Рис. 75

 

1. Пусть R - радиус окружности основания конуса, H = SO - высота конуса и высота пирамиды, V_К - объем конуса, V_П - объем пирамиды (см. рис. 75).

.

2. Таким образом, чтобы найти объем конуса, необходимо найти площадь треугольника в основании пирамиды. Применим к треугольнику теорему синусов, но прежде, найдем величину третьего угла треугольника: .

По теореме синусов: ,

.

3. Площадь треугольника равна

 

.

 

4. Найдем объем конуса

 

.

 

Ответ: .