В инженерно-технологическую академию
1. Решить уравнение 
2. Решить неравенство 
3. Решить уравнение 
4. Решить уравнение 
5. Найти все значения p, при которых уравнение 
не имеет корней.
6. В конус вписана пирамида, 
В основании пирамиды лежит треугольник с углами 
и 
. Найти объем конуса.
Решения
1. Решить уравнение 
Решение
Найдем область допустимых значений переменной:
.
Преобразуем уравнение. Для этого перенесем 
из левой части уравнения в правую, чтобы получить в обеих частях уравнения неотрицательные выражения, а затем возведем обе части уравнения в квадрат.
,
. Правая часть уравнения неотрицательна при 
, что совпадает с областью допустимых значений переменной. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:
.
Оба корня входят в область допустимых значений и являются решениями уравнения.
Ответ: 
.
2-й способ
Положим 
.
Подставим в уравнение, получим: u - v = 1.
Получим систему уравнений:
.
Ответ: .
2. Решить неравенство 
Решение
Область допустимых значений: 
.
Заметим, что 
, т. е. выражения 
и 
- взаимно обратные. Из равенства 
выразим 
.
Неравенство примет вид: 
.
Показательная функция с основанием 
является возрастающей, значит, 
.
Квадратный трехчлен 
имеет отрицательный дискриминант, равный D = -20 < 0, значит, при всех значениях 
он принимает положительные значения и тогда, полученное неравенство равносильно неравенству:
.
Ответ: 
.
3. Решить уравнение 
Решение
Область допустимых значений: 
.
Преобразуем уравнение: 
.
Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:
(1) 
и (2) 
- эта система корней не имеет.
Ответ: 
.
Внимание! Ошибочное преобразование!
, 
.
Область допустимых значений этого уравнения "сузилась" и стала равна промежутку: 
. В результате возможна потеря корней, что и произошло в данном случае.
Уравнение 
корней не имеет, хотя данное уравнение, как установлено выше, имеет корень x = 5.
4. Решить уравнение
Решение
Преобразуем уравнение, для чего используем следующие тригонометрические формулы: 
и 
. Получим уравнение:
.
Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:
Ответ: 
.
5. Найти все значения p, при которых уравнение не имеет корней.
Решение
В первую очередь, выясним, будет ли иметь решение уравнение, когда его первый коэффициент равен нулю: 
Уравнение примет вид: 
В этом случае уравнение корней не имеет, значит, значение 
удовлетворяет условию задачи.
Теперь, в дальнейших рассуждениях, будем предполагать, что 
Преобразуем уравнение. Для этого положим 
получим уравнение 
Полученное уравнение не будет иметь корней в двух случаях:
1-й случай, когда дискриминант уравнения отрицателен 
2-й случай, когда уравнение имеет два отрицательных корня.
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1-й случай. Найдем дискриминант и определим значения p, при которых он будет отрицателен:
(см. рис. 73),
Рис. 73
2-й случай. Во-первых, уравнение должно иметь корни, что произойдет при 
Во-вторых, оба корня должны быть отрицательными. Чтобы выяснить, при каких значениях p это произойдет, преобразуем это уравнение к приведенному:
По теореме Виета, произведение корней равно свободному члену 
а их сумма второму коэффициенту с противоположным знаком: 
Чтобы оба корня были отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы свободный член был положительным, а второй коэффициент, взятый с противоположным знаком - отрицательным. Получим систему:
Рис. 74
(см. рис. 74).
Объединяя множества, полученные из первого и второго случаев, а также, помня, что при p = 10 уравнение также не имеет решений, получаем множество, при котором уравнение не имеет корней: 
Ответ: 
6. В конус вписана пирамида, В основании пирамиды лежит треугольник с углами и . Найти объем конуса.
Решение
Рис. 75
1. Пусть R - радиус окружности основания конуса, H = SO - высота конуса и высота пирамиды, VК - объем конуса, VП - объем пирамиды (см. рис. 75).
.
2. Таким образом, чтобы найти объем конуса, необходимо найти площадь треугольника в основании пирамиды. Применим к треугольнику теорему синусов, но прежде, найдем величину третьего угла треугольника: 
.
По теореме синусов: 
,
.
3. Площадь треугольника равна
.
4. Найдем объем конуса
.
Ответ: 
.
