При x = 3, получим: 
значит x = 3 является корнем уравнения.
Ответ: 
2-й способ
Положим 
тогда 
Получим систему уравнений, из которой исключим x: 
Чтобы получить второе уравнение системы, замени в данном уравнении 
и 
, получим уравнение:
Из двух уравнений составим систему и решим ее:
Решим полученное уравнение: 
Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений:
Ответ:
4. Решить уравнение: 
Решение
Область допустимых значений переменной найдем из решения системы неравенств (рис. 23):
| 
Рис. 23
|
Отсюда получаем 
или 
Преобразуем уравнение:
так как, из области допустимых значений следует, что x > 1, то 
а значит числитель и знаменатель дроби можно разделить на x + 1, получим уравнение: 
При 
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
не входит в область допустимых значений и не является корнем уравнения, - это посторонний корень.
входит в область допустимых значений и может быть корнем уравнения. Чтобы точно установить это, выполним проверку.
Проверка
значит x = 3 является корнем уравнения.
Ответ: x = 3.
5. Доказать тождество 
Доказательство
Преобразуем левую часть тождества:
Тождество доказано.
6. Образующая усеченного конуса наклонена к его основанию, имеющему радиус R, под углом 
; радиус другого основания равен r. Определить боковую поверхность усеченного конуса.
Решение
Рис. 24
1. Площадь боковой поверхности определим по формуле:
2. Проведем BM перпендикулярно плоскости основания, тогда 
по определению прямой, перпендикулярной плоскости. AM = R - r.
Из 
3. 
Ответ: 
7. В круг радиуса r вписать прямоугольник с наибольшей площадью.
Решение
Рис. 25
1. Обозначим одну из сторон прямоугольника, возьмем AD = x.
2. Проведем OM 
AD, тогда вторая сторона прямоугольника будет равна 
3. Из 
4. Площадь прямоугольника будет равна 
5. Рассмотрим площадь, как функцию от x и найдем ее наибольшее значение на промежутке 
Найдем критические точки на промежутке
не входит в промежуток
При 
значит функция возрастает.
При 
значит функция убывает.
В точке 
функция имеет максимум. Значит наибольшая площадь прямоугольника будет при и 
т. е. это квадрат со стороной 
и площадью 
Ответ: 
квадрат со стороной .
Вариант 7
1. Упростить: 
2. Найти все решения уравнения 
, принадлежащих области определения функции 
3. Решить уравнение: 
4. Решить уравнение: 
5. Решить уравнение: 
6. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. 20 мин. За какое время пройдет всё расстояние каждый из них, если первый пришел в то место, из которого вышел второй на 5 ч позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый?
7. Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб со стороной длины a и острым углом 
. Каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 
Найти полную поверхность пирамиды.
Решения
1. Упростить:
Решение
Выражение имеет смысл, если 
Ответ: 2, при 
.
2. Найти все решения уравнения , принадлежащих области определения функции
Решение
Найдем область определения функции. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
Решим уравнение: 
Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:
(1) 
и (2) 
(1) 
Из двух корней, полученных в результате решения систем, только один входит в область определения функции, т. е. в промежуток 
- это 
Ответ: x = -4.
1. Решить уравнение:
Решение
1-й способ
Найдем область допустимых значений переменной:
Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:
- не входит в область допустимых значений и не является корнем уравнения, это посторонний корень. Проверим корень x = -3.
Проверка
При x = -3 получим: 
Ответ: 
2-й способ
Положим 
тогда 
отсюда можно исключить x и получить уравнение, содержащие переменные u и v.
Из системы уравнений исключим x:
Подставляя значения в первоначальное уравнение, получим: 
Приходим к системе уравнений: 
Подставим значения u из второго уравнения в первое, получим:
Это биквадратное уравнение. Положим 
тогда придем к квадратному уравнению: 
которое имеет два корня: 
не удовлетворяет условию 
и является посторонним корнем. Находим: 
Ответ:
4. Решить уравнение:
Решение
Область допустимых значений: x > 0. Так как x находится в основании степени, то необходимо рассмотреть отдельно случай, когда x = 1.
При x = 1 получим: 
значит, 
тогда областью допустимых значений переменной будет являться множество: 
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
Пусть 
тогда получим: 
Оба корня входят в область допустимых значений.
Проверка
При 
получим: 
значит, 
удовлетворяет уравнению.
При 
получим: 
значит, 
удовлетворяет уравнению и является его корнем.
Ответ: .
5. Решить уравнение:
Решение
Преобразуем уравнение
Положим 
тогда получим квадратное уравнение:
- это уравнение не имеет решений, так как 
Ответ:
6. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. 20 мин. За какое время пройдет всё расстояние каждый из них, если первый пришел в то место, из которого вышел второй на 5 ч позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый?
Решение
Рис. 26
t ч – время движения первого пешехода от A до B (см. рис. 26),
(t – 5) ч – время движения второго пешехода от B до A,
и 
км/ч – скорости первого и второго пешеходов соответственно,
км – прошел до встречи 1-й пешеход,
км – прошел до встречи 2-й пешеход,
ч – время движения 1-го пешехода от встречи до прибытия в B,
ч – время движения 2-го пешехода от встречи до прибытия в A,
км – прошел после встречи второй пешеход.
Составим 1-е уравнение
км – прошел после встречи первый пешеход.
Составим второе уравнение
Получим систему уравнений:
Разделим левые и правые части уравнений друг на друга, считая, что 
получим: 
не удовлетворяет условию задачи (иначе, не может на 5 ч позже придти первый в B, чем 2-й в A).
10 ч – время движения первого пешехода, 5 ч – время движения второго.
Ответ: 10 ч, 5 ч.
7. Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб со стороной длины a и острым углом . Каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом Найти полную поверхность пирамиды.
Решение
Рис. 27
1. Так как все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом 
, тогда высота пирамиды попадает в центр вписанной в основание окружности, а значит попадает в точку пересечения диагоналей ромба.
2. Проведем 
и соединим S и M, 
- по теореме о трех перпендикулярах, SM = h – апофема.
3. Из 
Рис. 28
4. Из 
5. 
Ответ: 
Вариант 8
1. Упростить:
2. Решить аналитически и графически уравнение:
3. Решить уравнение: 
4. Решить уравнение: 
5. Решить уравнение: 
6. Пункт C расположен в 12 км от B вниз по течению реки. Рыбак отправился на лодке в пункт C из пункта A, расположенного выше пункта B. Через 4 часа он прибыл в C, а на обратный путь затратил 6 часов. Поставив мотор и тем самым увеличив скорость лодки относительно воды втрое, рыбак дошел от A до B за 45 минут. Определить скорость течения реки.
7. Найти конус наименьшего объема, описанный около шара радиуса R.
Решения
Упростить:
Решение
Выражение имеет смысл при 
Ответ: 
, при 
.
Решить аналитически и графически уравнение:
Решение
Аналитическое решение
Данное уравнение равносильно совокупности двух смешанных систем:
(1) 
и (2) 
Разложим квадратный трехчлен 
на линейные множители. Для этого найдем его корни: 
Получим: 
.
Решим уравнение первой системы: 
Первая система станет такой:
(1) 
Рис. 29
(1) 
Решим вторую систему:
(2) 
Рис. 30
(2) 
Ответ: 
