Вступительного экзамена по математике 21.07.1997 г. 5 страница

При x = 3, получим: значит x = 3 является корнем уравнения.

Ответ:

2-й способ

Положим тогда Получим систему уравнений, из которой исключим x:

Чтобы получить второе уравнение системы, замени в данном уравнении и , получим уравнение:

Из двух уравнений составим систему и решим ее:

Решим полученное уравнение:

Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений:

Ответ:

4. Решить уравнение:

Решение

Область допустимых значений переменной найдем из решения системы неравенств (рис. 23):

Рис. 23

Отсюда получаем или

Преобразуем уравнение:

так как, из области допустимых значений следует, что x > 1, то а значит числитель и знаменатель дроби можно разделить на x + 1, получим уравнение:

При Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

не входит в область допустимых значений и не является корнем уравнения, - это посторонний корень.

входит в область допустимых значений и может быть корнем уравнения. Чтобы точно установить это, выполним проверку.

Проверка

значит x = 3 является корнем уравнения.

Ответ: x = 3.

5. Доказать тождество

Доказательство

Преобразуем левую часть тождества:

Тождество доказано.

6. Образующая усеченного конуса наклонена к его основанию, имеющему радиус R, под углом ; радиус другого основания равен r. Определить боковую поверхность усеченного конуса.

Решение

Рис. 24

1. Площадь боковой поверхности определим по формуле:

2. Проведем BM перпендикулярно плоскости основания, тогда по определению прямой, перпендикулярной плоскости. AM = R - r.

Из 3.

Ответ:

7. В круг радиуса r вписать прямоугольник с наибольшей площадью.

Решение

Рис. 25

1. Обозначим одну из сторон прямоугольника, возьмем AD = x.

2. Проведем OM AD, тогда вторая сторона прямоугольника будет равна

3. Из

4. Площадь прямоугольника будет равна

5. Рассмотрим площадь, как функцию от x и найдем ее наибольшее значение на промежутке

Найдем критические точки на промежутке

не входит в промежуток

При значит функция возрастает.

При значит функция убывает.

В точке функция имеет максимум. Значит наибольшая площадь прямоугольника будет при и т. е. это квадрат со стороной и площадью

Ответ: квадрат со стороной .

Вариант 7

1. Упростить:

2. Найти все решения уравнения , принадлежащих области определения функции

3. Решить уравнение:

4. Решить уравнение:

5. Решить уравнение:

6. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. 20 мин. За какое время пройдет всё расстояние каждый из них, если первый пришел в то место, из которого вышел второй на 5 ч позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый?

7. Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб со стороной длины a и острым углом . Каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом Найти полную поверхность пирамиды.

Решения

1. Упростить:

Решение

Выражение имеет смысл, если

Ответ: 2, при .

2. Найти все решения уравнения , принадлежащих области определения функции

Решение

Найдем область определения функции. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

Решим уравнение:

Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:

(1) и (2)

(1)

Из двух корней, полученных в результате решения систем, только один входит в область определения функции, т. е. в промежуток - это

Ответ: x = -4.

1. Решить уравнение:

Решение

1-й способ

Найдем область допустимых значений переменной:

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

- не входит в область допустимых значений и не является корнем уравнения, это посторонний корень. Проверим корень x = -3.

Проверка

При x = -3 получим:

Ответ:

2-й способ

Положим тогда отсюда можно исключить x и получить уравнение, содержащие переменные u и v.

Из системы уравнений исключим x:

Подставляя значения в первоначальное уравнение, получим:

Приходим к системе уравнений:

Подставим значения u из второго уравнения в первое, получим:

Это биквадратное уравнение. Положим тогда придем к квадратному уравнению: которое имеет два корня: не удовлетворяет условию и является посторонним корнем. Находим:

Ответ:

4. Решить уравнение:

Решение

Область допустимых значений: x > 0. Так как x находится в основании степени, то необходимо рассмотреть отдельно случай, когда x = 1.

При x = 1 получим: значит, тогда областью допустимых значений переменной будет являться множество:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

Пусть тогда получим: Оба корня входят в область допустимых значений.

Проверка

При получим:

значит, удовлетворяет уравнению.

При получим:

значит, удовлетворяет уравнению и является его корнем.

Ответ: .

5. Решить уравнение:

Решение

Преобразуем уравнение

Положим тогда получим квадратное уравнение:

- это уравнение не имеет решений, так как

Ответ:

Решение

Рис. 26

t ч – время движения первого пешехода от A до B (см. рис. 26),

(t – 5) ч – время движения второго пешехода от B до A,

и км/ч – скорости первого и второго пешеходов соответственно,

км – прошел до встречи 1-й пешеход,

км – прошел до встречи 2-й пешеход,

ч – время движения 1-го пешехода от встречи до прибытия в B,

ч – время движения 2-го пешехода от встречи до прибытия в A,

км – прошел после встречи второй пешеход.

Составим 1-е уравнение

км – прошел после встречи первый пешеход.

Составим второе уравнение

Получим систему уравнений:

Разделим левые и правые части уравнений друг на друга, считая, что получим:

не удовлетворяет условию задачи (иначе, не может на 5 ч позже придти первый в B, чем 2-й в A).

10 ч – время движения первого пешехода, 5 ч – время движения второго.

Ответ: 10 ч, 5 ч.

Решение

Рис. 27

1. Так как все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом , тогда высота пирамиды попадает в центр вписанной в основание окружности, а значит попадает в точку пересечения диагоналей ромба.

2. Проведем и соединим S и M, - по теореме о трех перпендикулярах, SM = h – апофема.

3. Из

Рис. 28

4. Из

Ответ:

Вариант 8

1. Упростить:

2. Решить аналитически и графически уравнение:

3. Решить уравнение:

4. Решить уравнение:

5. Решить уравнение:

6. Пункт C расположен в 12 км от B вниз по течению реки. Рыбак отправился на лодке в пункт C из пункта A, расположенного выше пункта B. Через 4 часа он прибыл в C, а на обратный путь затратил 6 часов. Поставив мотор и тем самым увеличив скорость лодки относительно воды втрое, рыбак дошел от A до B за 45 минут. Определить скорость течения реки.

7. Найти конус наименьшего объема, описанный около шара радиуса R.

Решения

Упростить:

Решение

Выражение имеет смысл при