Графическое решение уравнения 1 страница

Построим графики функций и . Абсциссы их точек пересечения будут являться решениями заданного уравнения.

1. Для построения графика функции , построим параболу , а затем выполним "зеркальное" отражение в оси Ox части параболы, лежащей ниже оси Ox.

Точки пересечения параболы с осью Ox: и .

Вершина параболы находится в точке с координатами:

2. Графиком функции является прямая, проходящая через точки:

3. Достаточно выполнить построения графиков справа от прямой x = 0,8, так как Выполним необходимые графические построения.

Отсюда, также находим, что

Рис. 31

Ответ:

3. Решить уравнение:

Решение

Й способ

Положим тогда .

Складывая левые и правые части этих равенств, получаем: .

Из данного уравнения, находим: .

Получим систему уравнений:

Решим первое уравнение системы:

Проверка

, значит,

- удовлетворяет уравнению.

, значит,

- удовлетворяет уравнению.

Ответ: .

Й способ

Возведем обе части уравнения в куб, получим:

По условию тогда получим

Ответ: .

4. Решить уравнение: .

Решение

Преобразуем уравнение:

Проверка

значит,

- удовлетворяет уравнению.

Ответ: .

5. Решить уравнение: .

Решение

Преобразуем уравнение:

, значит это уравнение не имеет решений.

Ответ: .

6. Пункт C расположен в 12 км от B вниз по течению реки. Рыбак отправился на лодке в пункт C из пункта A, расположенного выше пункта B. Через 4 часа он прибыл в C, а на обратный путь затратил 6 часов. Поставив мотор и тем самым увеличив скорость лодки относительно воды втрое, рыбак дошел до от A до B за 45 минут. Определить скорость течения реки.

Решение

Пусть x км/ч – скорость течения реки,

y км/ч – скорость лодки в стоячей воде,

(y – x) км/ч – скорость лодки против течения реки,

Рис. 32

(y + x) км/ч скорость лодки по течению реки,

3(y – x) км/ч скорость лодки против течения с поставленным на нее мотором,

км – расстояние от A до B, которое прошла лодка с мотором, км – расстояние от A до C.

Получим систему уравнений:

Вычтем из второго уравнения первое, получим:

Подставим это значение y в первое уравнение системы, получим:

0,8 км/ч – скорость течения реки, 4 км/ч – скорость лодки в стоячей воде.

Ответ: 0,8 км/ч.

7. Найти конус наименьшего объема, описанный около шара радиуса R.

Решение

1-й способ

Рис. 33

1. O – центр описанного шара, H – высота конуса, r – радиус основания конуса, SO₁ – высота конуса. Центр вписанного шара лежит на высоте конуса, поскольку рассматривается прямой круговой конус (по умолчанию в условии).

2. Пусть SO = x, R < x < 4R, тогда SO₁ = x + r.

3. Из . Из подобия треугольников SOM и SO₁M следует, что

4. Площадь основания конуса равна

Объем конуса

5. Рассмотрим V как функцию от x и найдем ее наименьшее значение на промежутке R < x < 4R.

Найдем производную функции V(x)

Критические точки: -R, 3R, R.

Рассмотрим только одну точку 3R, которая входит в промежуток R < x < 4R.

При R < x < 3R, - функция убывает на этом промежутке.

При 3R < x < 4R, - функция возрастает на этом промежутке.

Значит, в точке x = 3R функция имеет минимум.

6. Высота конуса H = x + R = 3R + R = 4R, радиус основания конуса

Ответ: конус с радиусом основания и высотой H = 4R.

2-й способ

Пусть r, H, - радиус основания конуса, длина его высоты и величина угла наклона образующей к плоскости основания соответственно.

Имеем:

Введем новую переменную и продифференцируем полученную функцию, тогда

В точке на интервале а на интервале в точке функция имеет минимум, совпадающий с наименьшим значением функции на указанном промежутке

Далее находим .

Ответ: .

Вариант 9

1. Упростить:

2. Найти все решения уравнения принадлежащие области допустимых значений функции

3. Решить уравнение:

4. Решить уравнение:

5. Решить уравнение:

6. Лодка спустилась вниз по течению реки на 20 км., затем вернулась обратно, затратив 7 ч. На обратном пути на расстоянии 12 км. от начального пункта лодка поравнялась с плотом, который проплывал пункт отплытия лодки в момент ее отплытия. Определить скорость течения реки и скорость движения лодки вниз по течению.

7. Основанием пирамиды служит ромб, длины диагоналей которого равны 6 м и 8 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и имеет длину 1 м. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решения

1. Упростить:

Решение

Выражение будет иметь смысл, если a > 0, .

Ответ: 1, при .

2. Найти все решения уравнения принадлежащие области допустимых значений функции

Решение

1. Найдем область определения функции . Логарифмическая функция имеет областью определения множество всех положительных чисел, значит . Это неравенство решим методом промежутков (рис. 34):

Рис. 34

Очевидно, что область определения .

2. Решим уравнение . Оно равносильно совокупности двух смешанных систем:

(1) и (2)

(1) .

Оба корня входят в промежуток .

(2) .

Оба корня также входят в промежуток x < 0.

2-способ решения уравнения .

Положим |x| = y, тогда получим уравнение , которое имеет корни .

Найдем значения x: , .

Таким образом, уравнение имеет четыре корня. Установим, какие из корней входят в область определения функции .

Итак, только один корень входит в область определения функции: .

Ответ: .

3. Решить уравнение:

Решение

Область допустимых значений найдем из системы неравенств:

Преобразуем уравнение

Положим , тогда получим квадратное уравнение:

не удовлетворяет условию y > 0 и не является корнем уравнения.

так как x > 1, тогда .

входит в область допустимых значений.

Проверка

, значит, удовлетворяет уравнению.

Ответ: .

4. Решить уравнение:

Решение

Областью допустимых значений переменной является множество всех действительных чисел , так как показательная функция принимает только положительные значения при любых значениях x.

Преобразуем уравнение

или

Ответ: .

5. Решить уравнение:

Решение

Преобразуем уравнение, заменив 1 на квадрат суммы: ,

. Это уравнение однородное относительно sinx и cosx, причем .

Разделим обе части этого уравнения на , получим .

Положим , тогда получим квадратное уравнение:

. не удовлетворяет условию и является посторонним корнем.

Уравнение равносильно совокупности уравнений

Ответ: .

Решение

Пусть x км/ч - скорость течения реки, y км/ч - скорость лодки в стоячей воде,

(y + x) км/ч - скорость лодки по течению реки,

(y - x) км/ч - скорость лодки против течения реки.

ч - время движения лодки по течению реки,

ч - время движения лодки против течения реки.

Составим уравнение: .

x км/ч - скорость движения плота (равна скорости течения реки),

ч - время движения плота,

ч - время движения лодки до встречи с плотом.

Составим уравнение: .

Получим систему уравнений:

Положим, что , получим

Из второго уравнения находим .

Подставим это значение y в первое уравнение, получим:

, тогда y = 7.

3 км/ч - скорость течения реки; 7 + 3 = 10 км/ч - скорость лодки по течению.

Ответ: 3 км/ч, 10 км/ч.

Решение

Рис. 35

1. где p - периметр основания, h - апофема (высота боковой грани), см. рис. 35.

2. Проведем , соединим S и M - по теореме о трех перпендикулярах, SM = h - апофема.

3. Рассмотрим основание. В м, DO = 3 м, (см. рис. 36):

Рис. 36

По теореме Пифагора м, тогда p = 20 м.

В , проведем из вершины прямого угла перпендикуляр OM на гипотенузу AD. AO - катет, AD - гипотенуза, AM - отрезок гипотенузы, прилежащий к катету AO. Каждый катет - средняя пропорциональная (средняя геометрическая) между всей гипотенузой и отрезком гипотенузы, прилежащем к этому катету.

Значит, , отсюда .

По теореме Пифагора из .

4. Из м.

5. м².

Ответ: м².

Вариант 10

1. Упростить:

2. Пусть и корни уравнения Вычислить

3. Решить неравенство:

4. Решить уравнение:

5. Решить уравнение:

6. Из двух городов выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Первый за 3 ч прошел 0,08 всего расстояния между городами, а второй за 2,5 ч. 7/120 этого расстояния. Найдите (в км/ч) скорость второго автомобиля, если до места встречи первый прошел 800 км.

7. Боковая грань правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол , сумма длин высоты пирамиды и радиуса окружности, вписанной в основание пирамиды равна a. Найти объем пирамиды.

Решения

1. Упростить:

Решение

Выражение имеет смысл, если

Ответ: , при

2. Пусть и корни уравнения Вычислить