Вступительного экзамена по математике 21.07.1997 г. 4 страница

Рис. 14

Ответ:

 

4. Решить уравнение:

 

Решение

 

Область допустимых значений переменной. Переменная под знаком логарифма должна быть положительной x > 0 (область определения логарифмической функции множество положительных действительных чисел).

В данном уравнении переменная находится в основании логарифма, значит необходимо установить, будет ли являться решением уравнения значение x = 1.

При x = 1 получим:  значит

Окончательно находим область допустимых значений переменной для данного уравнения:

Преобразуем уравнение:

 Положим  тогда получим:

 

Проверка

 

При  получим:  значит,  - корень уравнения.

При  получим:  значит  является корнем уравнения.

Ответ: , .

5. Решить уравнение:

 

Решение

 

Преобразуем уравнение:

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

 Второе уравнение совокупности  решений не имеет, поскольку

Первое уравнение решим как однородное. Разделим обе его части на  в противном случае, из уравнения, получим, что и  что невозможно). В результате деления на , приходим к уравнению:

 

Ответ:

 

6. В основании пирамиды лежит ромб. Высота пирамиды проходит через центр ромба. Боковые грани пирамиды образуют углы  и  с диагоналями ромба. Найти угол наклона боковой грани к плоскости основания.

 

Решение

Рис. 15

 

1. Проведем  соединим  с B и C, тогда  так как  является проекцией BO на боковую грань SBC.  так как  является проекцией OC на боковую грань SBC.

2. Обозначим OC = y, OB = x, тогда из

3. Проведем  в плоскости SBC, соединим O и M,  - по теореме о трех перпендикулярах, значит  - линейный угол двугранного угла между SBC и основанием пирамиды ABCD.

4. Рассмотрим  - диагонали ромба пересекаются под прямым углом (рис. 16):

Рис. 16

5. Рассмотрим  (рис. 17):

Рис. 17

 

 

 

6. Рассмотрим

 

Ответ:

7. Найти высоту конуса максимального объема, который можно вписать в шар радиуса R.

 

Решение

Рис. 18

 

1. Обозначим  тогда высота конуса

2. Из

3.

4. Объем конуса равен

5. Рассмотрим объем конуса, как функцию от  где  Найдем производную этой функции:

Найдем критические точки,

 - не входит в промежуток

При  - функция возрастает.

При  - функция убывает.

Значит, в точке  функция имеет максимум, т. е. конус имеет максимальный объем.

Ответ:

 

Вариант 5

1. Упростить:

2. При каких значениях a разность корней уравнения  равна их произведению?

3. Решить неравенство:

4. Решить уравнение

5. Решить уравнение:

6. Два экскаватора производят работу. Если эту работу будет выполнять один первый экскаватор, то он может закончить ее на 8 ч. позже, чем оба вместе. Если эту работу будет выполнять один второй экскаватор, то он закончит ее на 4,5 ч позже, чем оба вместе. За какое время может выполнить эту работу каждый экскаватор в отдельности?

7. Стороны треугольника, лежащего в основании пирамиды равны 13, 14, 15 см. Двугранные углы при основании пирамиды равны по 45⁰. Найти боковую поверхность пирамиды.

 

Решения

 

1. Упростить:

 

Решение

 

Выражение имеет смысл при

 

 

Ответ: 3, при

 

2. При каких значениях a разность корней уравнения   равна их произведению?

 

Решение

 

Во-первых, найдем значения a, при которых уравнение вообще будет иметь действительные корни. Как известно, для этого дискриминант должен быть неотрицательным, т. е. больше нуля или равняться нулю:

 при всех действительных значениях a,

Пусть  и  - корни данного квадратного уравнения, тогда, по условию:

Для дальнейшего решения, необходимо преобразовать данное уравнение в приведенное, чтобы применить теорему Виета. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент при , т. е. на 2, получим:

По теореме Виета:

Получим систему уравнений, состоящую из трех уравнений:

Из третьего уравнения следует, что . Подставим это значение во второе уравнение, система примет вид:

Складывая левые и правые части первых двух уравнений, находим:

Вычитая из первого уравнения второе, получим:

Подставим значения  и  в третье уравнение системы, найдем a:

 

Ответ: при

 

3. Решить неравенство:

 

Решение

 

Разложим квадратный трехчлен, находящийся в знаменателе дроби, на линейные множители:

Преобразуем неравенство:

Выражение, находящееся под знаком модуля, равно нулю при x = 3.

Получим два промежутка x < 3 и x > 3 (равенство 3 невозможно, так как при этом значении знаменатель обращается в нуль).

Решим неравенство на каждом из этих промежутков:

При x < 3 выражение x - 3 будет принимать отрицательные значения, значит "выйдет" из-под знака модуля с "минусом", получим неравенство:

Если еще учесть, что знаменатель не может быть равен нулю при  тогда получим систему неравенств (рис. 19):

Рис. 19

Находим решения системы:

При x > 3 неравенство примет вид:  

Получим систему неравенств (рис. 20):

Эта система решений не имеет.                   Рис. 20

Ответ:

 

 

4. Решить уравнение:

 

Решение

 

Область допустимых значений переменной найдем из решения системы неравенств:

Преобразуем уравнение:

 не входит в область допустимых значений и не является корнем уравнения. Проверим второй корень.

Проверка

x = 3 - является корнем уравнения.

 

Ответ: x = 3.

 

5. Решить уравнение:

 

Решение

 

Преобразуем уравнение:

 Полученное уравнение - однородное,  Разделим обе части уравнения на  приходим к уравнению:

 

Ответ:

 

6. Два экскаватора производят работу. Если эту работу будет выполнять один первый экскаватор, то он может закончить ее на 8 ч позже, чем оба вместе. Если эту работу будет выполнять один второй экскаватор, то он закончит ее на  ч позже, чем оба вместе. За какое время может выполнить эту работу каждый экскаватор в отдельности?

 

Решение

 

Пусть за x_ч - выполнит всю работу 1-й экскаватор, работая один,

           y_ч - выполнит всю работу 2-й экскаватор, работая один,

           1  - вся работа

тогда  - делает в час 1-й экскаватор, его производительность,

           - делает в час 2-й экскаватор, его производительность,

         - делают в час два экскаватора, работая вместе,

 ч - выполнят всю работу оба экскаватора, работая вместе.

По условию, получим систему уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе, получим:

Преобразуем первое уравнение системы:

Получим новую систему уравнений:

Значения  не удовлетворяют условию задачи.

Остаются значения

 

Ответ: за 14 ч - первый экскаватор выполнит всю работу, работая один;

       за 10,5 ч - второй экскаватор выполнит всю работу, работая один.

 

7. Стороны треугольника, лежащего в основании пирамиды равны 13, 14, 15 см. Двугранные углы при основании пирамиды равны по 45⁰. Найти боковую поверхность пирамиды.

 

Решение

Рис. 21

1. Проведем  далее проведем OM  AB, тогда SM  AB по теореме о трех перпендикулярах, значит SMO = 45⁰ - как линейный угол двугранного угла между гранями ASB и ABC (рис. 21).

2. Так как все двугранные углы при основании равны, то основание высоты пирамиды (точка O) попадет в центр вписанной в ABC (основание пирамиды) окружности.

3. Покажем, что, в этом случае, все апофемы боковых граней равны между собой и равны h. Сделаем это, рассмотрев две апофемы.

Проведем OD  BC и соединим S с D, тогда SD BC по теореме о трех перпендикулярах, т. е. SD - апофема грани SBC.

SOM = SOD - как прямоугольные, имеющие равные катеты (OM = OD = r, SO - общий катет). Значит SM = SD = h.

4. Пусть S - площадь основания (треугольника), тогда  а по формуле Герона  где a, b, c - длины сторон треугольника, p - полупериметр.

5. Из SOM,

6. Площадь боковой поверхности данной пирамиды равна:

 

Ответ:

 

Вариант 6

1. Упростить:

2. Решить неравенство:

3. Решить уравнение:

4. Решить уравнение:

5. Доказать тождество

6. Образующая усеченного конуса наклонена к его основанию, имеющему радиус R, под углом ; радиус другого основания равен r. Определить боковую поверхность усеченного конуса.

7. В круг радиуса r вписать прямоугольник с наибольшей площадью.

 

Решения

 

1. Упростить:

 

Решение

 

Множество значений переменных будет следующим:

 

 

 

Ответ: , при

 

2. Решить неравенство:

 

Решение

 

Область допустимых значений переменной:

Преобразуем неравенство и решим его методом промежутков, учитывая область допустимых значений переменной:

 

 

Разложим квадратный трехчлен  на линейные множители. Он имеет корни:  Тогда

Неравенство примет вид:

Рис. 22

Получим объединение промежутков (рис. 22):

Ответ:

3. Решить уравнение:

 

Решение

 

1-й способ

 

Поскольку все корни нечетной степени, то область допустимых значений переменной - множество всех действительных чисел,

Возведем обе части уравнения в куб, получим:

По условию  тогда уравнение примет вид:

Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений:

 

Проверка

 

При x = 1, получим:  значит x = 1 является корнем уравнения.