Графическое решение уравнения 3 страница

Найдем корни трехчлена .

Разложим его на множители: .

Решим уравнение первой системы: .

Первая система примет вид

(1)

Решим неравенства системы методом промежутков (см. рис. 46):

 

Рис. 46

 

Решением системы неравенств будет являться промежуток .

Ясно, что .

В результате решения первой системы получаем один корень: x = 1.

Решим вторую систему.

Решим квадратное уравнение системы:

.

Система примет вид:

(2)

 

Рис. 47

 

В результате решения двух систем получаем два корня:  (см. рис. 47).

Ответ: .

Графическое решение уравнения

 

Построим графики функций  и . Абсциссы их точек пересечения и будут являться решениями заданного уравнения.

1. Для построения графика функции , построим параболу , а затем выполним "зеркальное" отражение в оси OX части параболы, лежащей ниже оси OX, иначе говоря, выполним симметрию нижней части параболы относительно оси OX.

Точки пересечения параболы с осью OX: .

Вершина параболы находится в точке с координатами:

.

2. Графиком функции  является прямая, проходящая через точки:

.

3. Достаточно выполнить построения графиков справа от прямой , так как . Выполним необходимые графические построения (см. рис. 48).

 

 

Рис. 48

 

Отсюда, также находим, что .

 

Ответ: .

3. Решить уравнение:

 

Решение

 

Найдем область допустимых значений переменной. Каждый из трехчленов, находящихся под знаком квадратных корней имеют отрицательные дискриминанты, поэтому, при всех действительных значениях x они принимают положительные значения, т. е. областью допустимых значений является множество всех действительных чисел, .

Положим  тогда .

Уравнение примет вид .

Область допустимых значений переменной z:

 

, или .

 

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

.

Возведем еще раз в квадрат обе части уравнения, получим:

.  не удовлетворяет условию  и является посторонним корнем. Остается один корень, .

Выполним обратную подстановку

.

 

Ответ: .

 

4. Решить уравнение:

 

Решение

 

Преобразуем уравнение . Разделим обе части уравнения на , зная, что .

Получим следующее уравнение:

.

Положим . Получим квадратное уравнение .

.

 

Проверка

 

 - корень уравнения.

 - корень уравнения.

Ответ: .

 

5. Решить уравнение:

 

Решение

 

Область допустимых значений переменной определим, учитывая, что знаменатели дробей не должны равняться нулю:

 

Преобразуем уравнение:

 

 

 

.

 

Получим совокупность двух уравнений:

(

1) .

 

(2)  - уравнение не имеет решений.

 

Установим, входят ли найденные решения в область допустимых значений:

 

 

Первое и третье неравенства выполняются, а из второго неравенства следует, необходимо исключить из полученного множества решений те значения, при которых n = 2m.

. Другими словами, n не должно принимать четные значения, следовательно, n может принимать только нечетные значения .

 

Ответ: .

 

6. Два велосипедиста выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Первый из них ехал со скоростью 15 км/ч, а второй - со скоростью 12км/ч. Спустя полчаса из того же пункта в том же направлении выехал третий велосипедист, который через некоторое время догнал второго, а еще через 1 час 30 мин. догнал и первого. Найти скорость третьего велосипедиста.

 

Решение

 

Пусть

x км/ч - скорость третьего велосипедиста,

y км/ч - его время движения до встречи со 2-м велосипедистом,

(y + 3/2) ч - его время движения до встречи с 1-м велосипедистом,

(y + 0,5) ч - время движения 2-го велосипедиста до встречи с 3-м,

(y + 3/2 + 0,5) = (y + 2)ч - время движения 1-го велосипедиста до встречи с 3-м,

xy км - путь, пройденный 3-м велосипедистом до встречи со 2-м,

12(y + 0,5) км - путь, пройденный 2-м велосипедистом до встречи с 3-м.

 

Составим уравнение

 

xy = 12(y + 0,5)

 

x(y + 3/2) км - путь, пройденный 3-м велосипедистом до встречи с 1-м,

15(y + 2) км - путь, пройденный 1-м велосипедистом до встречи с 3-м.

Составим уравнение

 

x(y + 3/2) = 15(y + 2)

Составим систему уравнений и решим ее

 

 

Из первого уравнения подставим во второе значение произведения xy, получим: .

 

Подставим полученное значение y в первое уравнение:

.

Ясно, что первый корень уравнения  не удовлетворяет условию задачи, так как скорость у 3-го велосипедиста должна быть больше, чем у 2-го и 1-го.

 

Ответ: 18 км/ч - скорость 3-го велосипедиста.

 

7. Найти радиус основания r и высоту h прямого кругового конуса, вписанного в шар радиуса R так, чтобы его объем был наибольшим.

 

Решение

 

 

Рис. 49

 

1. Обозначим OO₁ = x, тогда высота конуса h = R + x (см. рис. 49).

2. Из .

3. Объем конуса равен .

4. Рассмотрим объем конуса, как функцию от x,

, где 0 < x < R.

Найдем производную этой функции:

 

.

Найдем критические точки, V'(x) = 0.

 

 

.

 

 не входит в промежуток .

Остается одна критическая точка . Исследуем поведение функции в окрестности этой точки.

При  - функция возрастает.

При  - функция убывает.

 

Значит, в точке  функция имеет максимум, т. е. конус имеет максимальный объем, .

 

Найдем радиус основания конуса. Из  по теореме Пифагора, имеем:

 

.

 

Ответ: .

 

Вариант 13

 

1. Упростить выражение:

 

2. Решить систему:

 

3. Решить неравенство:

 

4. Решить уравнение:

5. Решить уравнение:

 

6. В равнобочную трапецию, длины оснований которой a и b (a > b), можно вписать окружность. Найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

 

7. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник, на гипотенузе которого лежит точка M(2; 1), а катеты - отрезки координатных осей.

Решения

 

1. Упростить выражение:

 

Решение

 

Выражение имеет смысл, если .

.

 

Ответ: , при .

 

2. Решить систему:

 

Решение

 

Область допустимых значений .

Из первого уравнения находим , отсюда получаем совокупность уравнений, что  и .

Получим совокупность двух систем уравнений:

(1)  и (2)

Преобразуем второе уравнение каждой системы:

.

Системы уравнений примут вид:

(1)  и (2)

Решим первую систему. Выразим из первого уравнения y и подставим во второе уравнение, получим .

Это уравнение, в свою очередь, равносильно совокупности двух систем:

(1') .

(2') .

Решим вторую систему уравнений (2)  Выразим из первого уравнения y и подставим во второе уравнение .

Получим совокупность двух смешанных систем:

(3')  Эта система не имеет решений.

(4')  Эта система также не имеет решений.

В результате получаем два решения

Эти решения входят в область допустимых значений.

 

Проверка

 

Эти значения удовлетворяют системе.

Эти значения также удовлетворяют системе уравнений.

 

Ответ:

 

3. Решить неравенство: .

 

Решение

Область допустимых значений: .

Преобразуем неравенство: .

Положим . Получим систему неравенств:

 

Решим систему методом промежутков (см. рис. 50).

 

Рис. 50

Получаем  и .

Выполним обратную подстановку и найдем значения x.

Получим совокупность неравенств:  

Показательная функция с основанием 0,5 < 1 является убывающей, тогда, из первого неравенства получим: .

Из второго неравенства: . Последнее неравенство, очевидно, не имеет решений.

Ответ: .

 

4. Решить уравнение:

Решение

Найдем область допустимых значений, учитывая, что переменная находится в основании логарифма, а также в знаменателе дроби и под знаком логарифма:

.

Преобразуем уравнение:

 - не входит в область допустимых значений и не является корнем уравнения.

Ответ: .

 

5. Решить уравнение:

 

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу , получаем:

 

 

 

 

Положим , получим квадратное уравнение

.

 

Ответ: ;

                        .

 

6. В равнобочную трапецию, длины оснований которой a и b (a > b), можно вписать окружность. Найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

Решение

 

 

Рис. 51

 

1. Необходимо найти расстояние OO₁. Для этого надо знать длины отрезков ON и NO₁, ON = r - радиус вписанной окружности. Отрезок O₁N обозначим x.

Чтобы найти x, необходимо найти радиус описанной окружности R и тогда из  можно найти x, а затем и расстояние OO₁ (см. рис. 51).

2. Понятно, что центры вписанной и описанной окружностей лежат на прямой, проходящей через середины оснований - точки M и N, значит, .

3. Из точки A проведены к вписанной окружности две касательные AN и AE, их отрезки равны, по теореме об отрезках касательных, выходящих из одной точки, значит . По этой же причине .

Получаем длину боковой стороны .

Отрезок .

Из  по теореме Пифагора

.

4. Из  найдем  из  по теореме Пифагора найдем BD. Но, прежде, найдем BP, ,

.

5. Применим теорему синусов к , который является вписанным в окружность радиуса R.

.

6. Из  по теореме Пифагора

.

7. Окончательно находим: ,

.

 

Ответ: .

 

7. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник, на гипотенузе которого лежит точка M(2; 1), а катеты - отрезки координатных осей.

 

Решение

 

Рис. 52

1. Пусть AOB - заданный треугольник, у которого катет OA лежит на оси OX, катет OB лежит на ординате OY, AB - гипотенуза, на которой лежит точка M с координатами (2; 1), M(2; 1) (см. рис. 52).

Обозначим длину катета OA = a, тогда координаты точки A будут A(a; 0).

2. Составим уравнение гипотенузы AB, как уравнение прямой, проходящей через две точки M(2; 1) и A(a; 0):

.

3. Эта прямая проходит через точку B с координатами (0; b). Подставим координаты этой точки в уравнение прямой, и найдем значение координаты b по Y.

.

4. Но координата точки B по оси OY равна длине катета OB, значит, .

Тогда, площадь треугольника будет равна .

5. Рассмотрим площадь треугольника, как функцию от a и исследуем её:

.

Найдем производную этой функции и критические точки:

.

Критические точки: a = 0, a = 2, a = 4.

Две первые точки a = 0, a = 2 не входят в область определения функции.

Исследуем поведение функции в окрестности точки a = 4.

При , значит функция убывает.

При , значит функция возрастает.