Вступительного экзамена по математике 21.07.1997 г. 2 страница

 учитывая область допустимых значений  получаем множество, на котором будем рассматривать полученное уравнение:

Возведем, на этом промежутке, обе части полученного уравнения в квадрат, получим

 - не входит в промежуток  и не является корнем уравнения.

 входит в промежуток  и является корнем уравнения.

 

Проверка

 

При x = 6 получим,  значит x = 6 корень уравнения.

 

Ответ:

 

2-й способ

Положим  тогда

умножим обе части первого уравнения на -3 и сложим со вторым уравнением, получим

 

При такой подстановке заданное уравнение примет вид

Получим систему уравнений

 

 не является корнем, так как  значит

 

Ответ:

 

3. Укажите все значения  для которых  является действительным числом.

 

Решение

 

Выражение, находящееся под корнем четной степени, должно быть неотрицательным  кроме того, переменная  находится в знаменателе дроби, значит

Решим первое показательное неравенство

Положим  получим неравенство

Полученное неравенство, решим методом промежутков, учитывая, что  (см. рисунок 1).

Рис. 1

 и

 

Делая обратную подстановку, получаем

 

Это неравенство решим методом промежутков (см. рисунок 2):

Рис. 2

Получаем  Это неравенство также решим методом промежутков (см. рисунок 3):

 

Рис. 3

отсюда находим  Окончательно получаем

 

Ответ:

 

4. Решить уравнение:

 

Решение

Выражение, находящееся в основании логарифмической функции, должно быть положительным  кроме того, необходимо проверить, может ли  принимать значение, равное 1.

При  получаем  тогда логарифм по основанию 1 становится неопределенным  значит

Получим систему неравенств

Преобразуем уравнение

 - не входит в область допустимых значений и не является корнем уравнения,   входит в область допустимых значений.

Проверка

 

При x = 3 получим  значит x = 3 является корнем уравнения.

 

Ответ:

5. Окружность, вписанная в треугольник, делит одну из медиан на 3 равные части. Найти отношение длин сторон треугольника.

 

Решение

Рис. 4

1. Пусть ABC - данный треугольник, BM - медиана, значит CM = MA.

Обозначим BN = NL = LM = a. Отрезок касательной CP обозначим через x (см. рисунок 4).

2. Из вершины B проведены к окружности касательная BD и секущая BL. Применим теорему: "Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешний отрезок", значит  

Из точки M проведены касательная MP и секущая MN, тогда, по этой же теореме:

3. Из точки B к окружности проведены две касательные BD и BK, по теореме: "Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности равны", заключаем, что

4.  Снова, рассмотрим две касательные, проведенные из точки A:  но

5. Теперь можно выразить все стороны треугольника через a и x:

6. Известно, что медиана треугольника выражается через его стороны по следующей формуле:

Подставим значения сторон и найдем x из полученного уравнения:

7.

8. Теперь найдем искомое отношение сторон:

 

Ответ:

 

6. В правильной шестиугольной пирамиде длина апофемы боковой грани  При какой длине сторон основания объем пирамиды будет наибольшим?

 

Решение

 

Рис. 5

1. Проведем  т. е. к плоскости основания, - высота пирамиды.  - центр описанной и вписанной окружностей, так как пирамида правильная (см. рисунок 5).

Проведем  и соединим  с  тогда  по теореме о трех перпендикулярах, значит  - апофема.

 - радиус описанной окружности, который равен длине стороны правильного шестиугольника,

Точка  делит сторону  пополам, так как  равносторонний, отсюда

Пусть - длина стороны шестиугольника, тогда

Из  по теореме Пифагора

 

2. Из  по теореме Пифагора

 

3. Объем пирамиды равен

 

4. Рассмотрим объем, как функцию от  на промежутке  и найдем ее наибольшее значение на этом промежутке.

Найдем производную функции и критические точки, принадлежащие промежутку

Найдем критические точки на промежутке  (В точке  производная не существует, значит, она также является критической точкой).

 

  и  не входят в промежуток

Значит, остается исследовать поведение функции в точках  и

При  - функция на этом промежутке возрастает.

При  - функция на этом промежутке убывает.

В точке  функция имеет максимум.

В точке  объем равен нулю, поэтому наибольшее значение объем принимает при .

Ответ: наибольший объем при длине стороны  см.

 

7. Решить уравнение:

 

Решение

Преобразуем разность синусов  в произведение, получим

 

 

С учетом этого преобразования, уравнение примет вид

 

Ответ:

Вариант 2

 

1. Упростить выражение:

2. Решить уравнение:

3. Найти область определения функции:

4. Решить уравнение:

5. Решить уравнение:

6. Найти сторону тетраэдра, вписанного в шар радиуса R.

7. На кривой  найдите точку, расстояние которой до прямой  будет наименьшим.

 

Решения

1. Упростить выражение:

 

Решение

 

Как видим, это выражение имеет смысл, если  и

Ответ: 2, при  и

 

2. Решить уравнение:

 

Решение

 

Найдем значения переменной x, при которых каждый из модулей обращается в нуль:

Отметим эти точки на числовой прямой (см. рис. 6):

Рис. 6

Все множество действительных чисел разбивается этими точками на три промежутка:

Решим уравнение на каждом из этих промежутков.

1. При   оба выражения 2x - 1 и 2x - 4 принимают отрицательные значения и "выйдут" из под модулей со знаками "минус", значит, получим уравнение:  - это значение входит в рассматриваемый промежуток и является корнем уравнения.

2. При  выражение 2x - 1 будет принимать положительные значения и "выйдет" из под модуля со знаком "плюс", а выражение 2x - 4 будет отрицательным и "выйдет" из под модуля со знаком "минус", получим уравнение:

 - не входит в рассматриваемый промежуток и не является корнем уравнения.

3. При  оба выражения 2x - 1 и 2x - 4 принимают положительные значения и "выйдут" из под модулей со знаками "плюс", получим уравнение:

 - не входит в рассматриваемый промежуток и не является корнем уравнения.

Итак, уравнение имеет единственное решение, x = -3.

 

Ответ: x = -3.

 

3. Найти область определения функции:

 

Решение

 

1. Выражение, находящееся под знаком корня четной степени, должно быть неотрицательным, значит:

2. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным (область определения логарифмической функции - множество положительных действительных чисел):

3. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, значит:

Получим систему неравенств:

 

Эта система неравенств равносильна совокупности двух систем:

 

(1)                          и              (2)

 

Решим каждую систему, используя числовые прямые (см. рис. 7):

 

(1)

 

 

Рис. 7.

Решением системы является промежуток

Решая вторую систему, выполним аналогичные преобразования и получим:

 (2)

 

 

Рис. 8

Эта система решений не имеет.

 

Ответ:

4. Решить уравнение:

 

Решение

 

Преобразуем уравнение:  Становится ясно, что мы имеем однородное показательное уравнение (показатели степеней всех одночленов в левой части уравнения равны 2x, а в правой части 0).

Такого вида уравнения решаются делением обеих его частей на одну из степеней с наибольшим показателем, в данном случае, на  или на . Это возможно, так как и , и  при всех действительных значениях x.

Разделим обе части уравнения на , получим:

Положим  получим квадратное уравнение:

 Значение  не удовлетворяет условию  и не может быть решением показательного уравнения.

Остается значение

Проверка

 

При  получаем: