Направление выпуклости графика функции.  Точки перегиба

График функции y = f (x)называется выпуклым вверх (выпуклым) на интервале (a; b) если в пределах этого интервала график функции y = f (x) лежит ниже любой своей касательной.

График функции y = f (x) называется выпуклым вниз (вогнутым) на интервале (a; b) если в пределах этого интервала график функции y = f (x) лежит выше любой своей касательной.

Точка графика функции y = f (x) M ₀ (x ₀; f (x ₀))называется точкой перегиба графика, если при переходе x через x ₀график меняет направление выпуклости.

Пусть функция y = f (x) дважды дифференцируема на интервале (a; b), тогда если в каждой точке этого интервала , то график функции на  (a; b) выпуклый вверх (выпуклый), а если , то график функции на (a; b) выпуклый вниз (вогнутый). Это достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика.

Если точка M ₀ (x ₀; f (x ₀))является точкой перегиба графика функции y = f (x), то  или  не существует – необходимое условие точки перегиба.

Точка x ₀ области определения функции, в которой вторая производная функции обращается в ноль или не существует, называется критической точкой II рода.

Для того чтобы точка M ₀ (x ₀; f (x ₀))графика функции y = f (x) была точкой перегиба, достаточно, чтобы существовала конечная  в некоторой окрестности точки x ₀ (за исключением, может быть, самой точки x ₀) и чтобы  меняла знак при переходе x через x ₀.

Пример 1. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции .

Решение.

Находим критические точки II рода:

а) не существует: ,

б) при

 

Вычислим

Получим и  − точки перегиба.

Ответ:  – интервалы вогнутости,  − интервал выпуклости, и  − точки перегиба.

Пример 2. Найти интервал выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции

Решение.

Находим критические точки II рода:

а) не существует при ,

б) :

 

 

Вычислим

Получим  − точка перегиба.

Ответ:  − интервалы выпуклости,  − интервал вогнутости,  − точка перегиба.

 

Примеры для самостоятельного решения

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегибы следующих функций:

13.1. ;

13.2. ;

13.3. ;

13.4. ;

13.5. ;

13.6. ;

13.7. ;

13.8. ;

13.9. ;

13.10

 

Ответы

13.1.  − интервал выпуклости,  − интервал вогнутости,  − точка перегиба;

13.2.  − интервал выпуклости,  − интервал вогнутости,  − точка перегиба.

13.3.  − интервалы выпуклости,  − интервалы вогнутости,  − точки перегиба.

13.4.  − интервал выпуклости,  − интервал вогнутости, точек перегиба нет.

13.5.  − интервалы вогнутости,  − интервал выпуклости,  − точки перегиба.

13.6.  − интервалы выпуклости,  − интервалы вогнутости,  − точки перегиба.

13.7.  − интервал выпуклости,  − интервал вогнутости,  − точка перегиба.

13.8.  − интервал вогнутости,  − интервал выпуклости,  − точка перегиба.

13.9.  − интервалы вогнутости,  − интервал выпуклости,  − точка перегиба.

13.10.  − интервалы вогнутости,  − интервалы выпуклости,  − точки перегиба.

Асимптоты графика функции

Прямая   l   называется асимптотой кривой   y = f (x), если расстояние от точки M (x; y) кривой до прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f (x), если выполняется хотя бы одно из условий:

                                                                                    (1)

Прямая y = k x + b наклонная асимптота кривой y = f (x) при  (при ), если выполнены условия:

                                                      (2)

Частный случай наклонной асимптоты при  – горизонтальная асимптота y = b.

Примеры с решениями

Пример 1. Найти асимптоты графика функции

Решение. Область определения

  −  точка  разрыва  графика  функции,  через  нее  может  проходить вертикальная асимптота.

Рассмотрим , следовательно, и выполнено одно из условий (1) и прямая  является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота: y = k x + b, где k и b находим по формулам (2)

.

Получили k = 3 и b = 5, следовательно, наклонная асимптота имеет уравнение y = 3 x + 5.

Ответ: x = 2; y = 3 x + 5.

Пример 2. Найти асимптоты графика функции

Решение. Область определения функции не имеет точек разрыва, следовательно, вертикальных асимптот нет.

Наклонная асимптота: y = k x + b, где k и b находим по формулам (2).

Получили k = 0 и b = 3, следовательно, прямая y = 3 является горизонтальной асимптотой графика рассматриваемой функции.

Ответ: y = 3.

 

Пример 3. Найти асимптоты графика функции

Решение. вертикальных асимптот нет.

Наклонная асимптота: y = k x + b, где k и b находим по формулам (2).

, следовательно, при  наклонной асимптоты нет.

Получили k = 0 и b = 0 при , это значит, что прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой при .

Ответ: y = 0 (при ).